Analysis Beispiele

$\frac{120 x^{2}}{x^{2} + 4}$

Schritt 1

Da $120$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{120 x^{2}}{x^{2} + 4}$ nach $x$ gleich $120 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x^{2} + 4}]$ .

$120 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x^{2} + 4}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x^{2} + 4$ .

$120 \frac{(x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$120 \frac{(x^{2} + 4) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2} + 4$ .

$120 \frac{2 \cdot (x^{2} + 4) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$120 \frac{2 (x^{2} + 4) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4])}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$120 \frac{2 (x^{2} + 4) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [4])}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 3.5

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$120 \frac{2 (x^{2} + 4) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.6.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$120 \frac{2 (x^{2} + 4) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 3.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$120 \frac{2 (x^{2} + 4) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$120 \frac{2 (x^{2} + 4) x - 2 (x^{1} x^{2})}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$120 \frac{2 (x^{2} + 4) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 6

Addiere $1$ und $2$ .

$120 \frac{2 (x^{2} + 4) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 7

Kombiniere $120$ und $\frac{2 (x^{2} + 4) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$ .

$\frac{120 (2 (x^{2} + 4) x - 2 x^{3})}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{120 ((2 x^{2} + 2 \cdot 4) x - 2 x^{3})}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 8.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{120 (2 x^{2} x + 2 \cdot 4 x - 2 x^{3})}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 8.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{120 (2 x^{2} x) + 120 (2 \cdot 4 x) + 120 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 8.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.4.1.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 8.4.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{120 (2 (x \cdot x^{2})) + 120 (2 \cdot 4 x) + 120 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 8.4.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 8.4.1.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{120 (2 (x^{1} x^{2})) + 120 (2 \cdot 4 x) + 120 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 8.4.1.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{120 (2 x^{1 + 2}) + 120 (2 \cdot 4 x) + 120 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 8.4.1.1.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{120 (2 x^{3}) + 120 (2 \cdot 4 x) + 120 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 8.4.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $120$ .

$\frac{240 x^{3} + 120 (2 \cdot 4 x) + 120 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 8.4.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{240 x^{3} + 120 (8 x) + 120 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 8.4.1.4

Mutltipliziere $8$ mit $120$ .

$\frac{240 x^{3} + 960 x + 120 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 8.4.1.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $120$ .

$\frac{240 x^{3} + 960 x - 240 x^{3}}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 8.4.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $240 x^{3} + 960 x - 240 x^{3}$ .

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Schritt 8.4.2.1

Subtrahiere $240 x^{3}$ von $240 x^{3}$ .

$\frac{960 x + 0}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 8.4.2.2

Addiere $960 x$ und $0$ .

$\frac{960 x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$