Analysis Beispiele

$\frac{1}{\sqrt[3]{x^{4}}}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt[3]{x^{4}}}]$ als $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x \sqrt[3]{x}}]$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt[3]{x^{3} x}}]$

Schritt 1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x \sqrt[3]{x}}]$

Schritt 2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x \cdot x^{\frac{1}{3}}}]$

Schritt 3

Multipliziere $x$ mit $x^{\frac{1}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{\frac{1}{3}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{1} x^{\frac{1}{3}}}]$

Schritt 3.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{1 + \frac{1}{3}}}]$

Schritt 3.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}}]$

Schritt 3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3 + 1}{3}}}]$

Schritt 3.4

Addiere $3$ und $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{4}{3}}}]$

Schritt 4

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{4}{3}}}$ als ${(x^{\frac{4}{3}})}^{- 1}$ um.

$\frac{d}{d x} [{(x^{\frac{4}{3}})}^{- 1}]$

Schritt 4.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{4}{3}})}^{- 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3} \cdot - 1}]$

Schritt 4.2.2

Multipliziere $\frac{4}{3} \cdot - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1

Kombiniere $\frac{4}{3}$ und $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4 \cdot - 1}{3}}]$

Schritt 4.2.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{- 4}{3}}]$

Schritt 4.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d}{d x} [x^{- \frac{4}{3}}]$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{4}{3}$ .

$- \frac{4}{3} x^{- \frac{4}{3} - 1}$

Schritt 6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{4}{3} x^{- \frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Schritt 7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{4}{3} x^{- \frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Schritt 8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{4}{3} x^{\frac{- 4 - 1 \cdot 3}{3}}$

Schritt 9

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- \frac{4}{3} x^{\frac{- 4 - 3}{3}}$

Schritt 9.2

Subtrahiere $3$ von $- 4$ .

$- \frac{4}{3} x^{\frac{- 7}{3}}$

Schritt 10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{4}{3} x^{- \frac{7}{3}}$

Schritt 11

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{7}{3}}}$

Schritt 11.2

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x^{\frac{7}{3}}}$ mit $\frac{4}{3}$ .

$- \frac{4}{x^{\frac{7}{3}} \cdot 3}$

Schritt 11.2.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{\frac{7}{3}}$ .

$- \frac{4}{3 x^{\frac{7}{3}}}$