Analysis Beispiele

$\frac{1 - x e^{x}}{x + e^{x}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 1 - x e^{x}$ und $g (x) = x + e^{x}$ .

$\frac{(x + e^{x}) \frac{d}{d x} [1 - x e^{x}] - (1 - x e^{x}) \frac{d}{d x} [x + e^{x}]}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - x e^{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x e^{x}]$ .

$\frac{(x + e^{x}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x e^{x}]) - (1 - x e^{x}) \frac{d}{d x} [x + e^{x}]}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Schritt 2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x + e^{x}) (0 + \frac{d}{d x} [- x e^{x}]) - (1 - x e^{x}) \frac{d}{d x} [x + e^{x}]}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Schritt 2.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x e^{x}]$ .

$\frac{(x + e^{x}) \frac{d}{d x} [- x e^{x}] - (1 - x e^{x}) \frac{d}{d x} [x + e^{x}]}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Schritt 2.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x e^{x}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$\frac{(x + e^{x}) (- \frac{d}{d x} [x e^{x}]) - (1 - x e^{x}) \frac{d}{d x} [x + e^{x}]}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{(x + e^{x}) (- (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x])) - (1 - x e^{x}) \frac{d}{d x} [x + e^{x}]}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{(x + e^{x}) (- (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x])) - (1 - x e^{x}) \frac{d}{d x} [x + e^{x}]}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Schritt 5

Differenziere.

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Schritt 5.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x + e^{x}) (- (x e^{x} + e^{x} \cdot 1)) - (1 - x e^{x}) \frac{d}{d x} [x + e^{x}]}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $e^{x}$ mit $1$ .

$\frac{(x + e^{x}) (- (x e^{x} + e^{x})) - (1 - x e^{x}) \frac{d}{d x} [x + e^{x}]}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Schritt 5.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + e^{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{(x + e^{x}) (- (x e^{x} + e^{x})) - (1 - x e^{x}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Schritt 5.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x + e^{x}) (- (x e^{x} + e^{x})) - (1 - x e^{x}) (1 + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Schritt 6

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{(x + e^{x}) (- (x e^{x} + e^{x})) - (1 - x e^{x}) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(x + e^{x}) (- (x e^{x}) - e^{x}) - (1 - x e^{x}) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Schritt 7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(x + e^{x}) (- (x e^{x}) - e^{x}) + (- 1 \cdot 1 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Schritt 7.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.3.1.1

Multipliziere $(x + e^{x}) (- x e^{x} - e^{x})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 7.3.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (- x e^{x} - e^{x}) + e^{x} (- x e^{x} - e^{x}) + (- 1 \cdot 1 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Schritt 7.3.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (- x e^{x}) + x (- e^{x}) + e^{x} (- x e^{x} - e^{x}) + (- 1 \cdot 1 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Schritt 7.3.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (- x e^{x}) + x (- e^{x}) + e^{x} (- x e^{x}) + e^{x} (- e^{x}) + (- 1 \cdot 1 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Schritt 7.3.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.3.1.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{- x (x e^{x}) + x (- e^{x}) + e^{x} (- x e^{x}) + e^{x} (- e^{x}) + (- 1 \cdot 1 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Schritt 7.3.1.2.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.3.1.2.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{- (x \cdot x) e^{x} + x (- e^{x}) + e^{x} (- x e^{x}) + e^{x} (- e^{x}) + (- 1 \cdot 1 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Schritt 7.3.1.2.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{- x^{2} e^{x} + x (- e^{x}) + e^{x} (- x e^{x}) + e^{x} (- e^{x}) + (- 1 \cdot 1 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Schritt 7.3.1.2.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} + e^{x} (- x e^{x}) + e^{x} (- e^{x}) + (- 1 \cdot 1 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Schritt 7.3.1.2.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{x} (x e^{x}) + e^{x} (- e^{x}) + (- 1 \cdot 1 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Schritt 7.3.1.2.5

Multipliziere $e^{x}$ mit $e^{x}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.3.1.2.5.1

Bewege $e^{x}$ .

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - (e^{x} e^{x}) x + e^{x} (- e^{x}) + (- 1 \cdot 1 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Schritt 7.3.1.2.5.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{x + x} x + e^{x} (- e^{x}) + (- 1 \cdot 1 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Schritt 7.3.1.2.5.3

Addiere $x$ und $x$ .

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x + e^{x} (- e^{x}) + (- 1 \cdot 1 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Schritt 7.3.1.2.6

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - e^{x} e^{x} + (- 1 \cdot 1 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Schritt 7.3.1.2.7

Multipliziere $e^{x}$ mit $e^{x}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.3.1.2.7.1

Bewege $e^{x}$ .

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - (e^{x} e^{x}) + (- 1 \cdot 1 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Schritt 7.3.1.2.7.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - e^{x + x} + (- 1 \cdot 1 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Schritt 7.3.1.2.7.3

Addiere $x$ und $x$ .

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - e^{2 x} + (- 1 \cdot 1 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Schritt 7.3.1.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.3.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - e^{2 x} + (- 1 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Schritt 7.3.1.3.2

Multipliziere $- (- x e^{x})$ .

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Schritt 7.3.1.3.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - e^{2 x} + (- 1 + 1 (x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Schritt 7.3.1.3.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - e^{2 x} + (- 1 + x e^{x}) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Schritt 7.3.1.4

Multipliziere $(- 1 + x e^{x}) (1 + e^{x})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 7.3.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - e^{2 x} - 1 (1 + e^{x}) + x e^{x} (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Schritt 7.3.1.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - e^{2 x} - 1 \cdot 1 - 1 e^{x} + x e^{x} (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Schritt 7.3.1.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - e^{2 x} - 1 \cdot 1 - 1 e^{x} + x e^{x} \cdot 1 + x e^{x} e^{x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Schritt 7.3.1.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.3.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - e^{2 x} - 1 - 1 e^{x} + x e^{x} \cdot 1 + x e^{x} e^{x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Schritt 7.3.1.5.2

Schreibe $- 1 e^{x}$ als $- e^{x}$ um.

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - e^{2 x} - 1 - e^{x} + x e^{x} \cdot 1 + x e^{x} e^{x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Schritt 7.3.1.5.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - e^{2 x} - 1 - e^{x} + x e^{x} + x e^{x} e^{x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Schritt 7.3.1.5.4

Multipliziere $e^{x}$ mit $e^{x}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.3.1.5.4.1

Bewege $e^{x}$ .

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - e^{2 x} - 1 - e^{x} + x e^{x} + x (e^{x} e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Schritt 7.3.1.5.4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - e^{2 x} - 1 - e^{x} + x e^{x} + x e^{x + x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Schritt 7.3.1.5.4.3

Addiere $x$ und $x$ .

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - e^{2 x} - 1 - e^{x} + x e^{x} + x e^{2 x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Schritt 7.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - e^{2 x} - 1 - e^{x} + x e^{x} + x e^{2 x}$ .

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Schritt 7.3.2.1

Addiere $- x e^{x}$ und $x e^{x}$ .

$\frac{- x^{2} e^{x} + 0 - e^{2 x} x - e^{2 x} - 1 - e^{x} + x e^{2 x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Schritt 7.3.2.2

Addiere $- x^{2} e^{x}$ und $0$ .

$\frac{- x^{2} e^{x} - e^{2 x} x - e^{2 x} - 1 - e^{x} + x e^{2 x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Schritt 7.3.2.3

Ordne die Faktoren in den Termen $- e^{2 x} x$ und $x e^{2 x}$ neu an.

$\frac{- x^{2} e^{x} - e^{2 x} x - e^{2 x} - 1 - e^{x} + e^{2 x} x}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Schritt 7.3.2.4

Addiere $- e^{2 x} x$ und $e^{2 x} x$ .

$\frac{- x^{2} e^{x} + 0 - e^{2 x} - 1 - e^{x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Schritt 7.3.2.5

Addiere $- x^{2} e^{x}$ und $0$ .

$\frac{- x^{2} e^{x} - e^{2 x} - 1 - e^{x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Schritt 7.4

Stelle die Terme um.

$\frac{- e^{x} x^{2} - 1 - e^{2 x} - e^{x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Schritt 7.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- e^{x} x^{2}$ heraus.

$\frac{- (e^{x} x^{2}) - 1 - e^{2 x} - e^{x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Schritt 7.6

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\frac{- (e^{x} x^{2}) - 1 (1) - e^{2 x} - e^{x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Schritt 7.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (e^{x} x^{2}) - 1 (1)$ heraus.

$\frac{- (e^{x} x^{2} + 1) - e^{2 x} - e^{x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Schritt 7.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- e^{2 x}$ heraus.

$\frac{- (e^{x} x^{2} + 1) - (e^{2 x}) - e^{x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Schritt 7.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- (e^{x} x^{2} + 1) - (e^{2 x})$ heraus.

$\frac{- (e^{x} x^{2} + 1 + e^{2 x}) - e^{x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Schritt 7.10

Faktorisiere $- 1$ aus $- e^{x}$ heraus.

$\frac{- (e^{x} x^{2} + 1 + e^{2 x}) - (e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Schritt 7.11

Faktorisiere $- 1$ aus $- (e^{x} x^{2} + 1 + e^{2 x}) - (e^{x})$ heraus.

$\frac{- (e^{x} x^{2} + 1 + e^{2 x} + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Schritt 7.12

Schreibe $- (e^{x} x^{2} + 1 + e^{2 x} + e^{x})$ als $- 1 (e^{x} x^{2} + 1 + e^{2 x} + e^{x})$ um.

$\frac{- 1 (e^{x} x^{2} + 1 + e^{2 x} + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Schritt 7.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{e^{x} x^{2} + 1 + e^{2 x} + e^{x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Schritt 7.14

Stelle die Faktoren in $- \frac{e^{x} x^{2} + 1 + e^{2 x} + e^{x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$ um.

$- \frac{x^{2} e^{x} + 1 + e^{2 x} + e^{x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$