Analysis Beispiele

$2 {(t^{2} + 11 t)}^{- 7}$

Schritt 1

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $2 {(t^{2} + 11 t)}^{- 7}$ nach $t$ gleich $2 \frac{d}{d t} [{(t^{2} + 11 t)}^{- 7}]$ .

$2 \frac{d}{d t} [{(t^{2} + 11 t)}^{- 7}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{- 7}$ und $g (t) = t^{2} + 11 t$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $t^{2} + 11 t$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{- 7}] \frac{d}{d t} [t^{2} + 11 t])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 7$ .

$2 (- 7 u^{- 8} \frac{d}{d t} [t^{2} + 11 t])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $t^{2} + 11 t$ .

$2 (- 7 {(t^{2} + 11 t)}^{- 8} \frac{d}{d t} [t^{2} + 11 t])$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $- 7$ mit $2$ .

$- 14 ({(t^{2} + 11 t)}^{- 8} \frac{d}{d t} [t^{2} + 11 t])$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t^{2} + 11 t$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [11 t]$ .

$- 14 {(t^{2} + 11 t)}^{- 8} (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [11 t])$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 14 {(t^{2} + 11 t)}^{- 8} (2 t + \frac{d}{d t} [11 t])$

Schritt 3.4

Da $11$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $11 t$ nach $t$ gleich $11 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 14 {(t^{2} + 11 t)}^{- 8} (2 t + 11 \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 14 {(t^{2} + 11 t)}^{- 8} (2 t + 11 \cdot 1)$

Schritt 3.6

Mutltipliziere $11$ mit $1$ .

$- 14 {(t^{2} + 11 t)}^{- 8} (2 t + 11)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 14 \frac{1}{{(t^{2} + 11 t)}^{8}} (2 t + 11)$

Schritt 4.2

Vereine die Terme

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Schritt 4.2.1

Kombiniere $- 14$ und $\frac{1}{{(t^{2} + 11 t)}^{8}}$ .

$\frac{- 14}{{(t^{2} + 11 t)}^{8}} (2 t + 11)$

Schritt 4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{14}{{(t^{2} + 11 t)}^{8}} (2 t + 11)$

Schritt 4.3

Stelle die Faktoren von $- \frac{14}{{(t^{2} + 11 t)}^{8}} (2 t + 11)$ um.

$- (2 t + 11) \frac{14}{{(t^{2} + 11 t)}^{8}}$

Schritt 4.4

Wende das Distributivgesetz an.

$(- (2 t) - 1 \cdot 11) \frac{14}{{(t^{2} + 11 t)}^{8}}$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$(- 2 t - 1 \cdot 11) \frac{14}{{(t^{2} + 11 t)}^{8}}$

Schritt 4.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $11$ .

$(- 2 t - 11) \frac{14}{{(t^{2} + 11 t)}^{8}}$

Schritt 4.7

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.7.1

Faktorisiere $t$ aus $t^{2} + 11 t$ heraus.

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Schritt 4.7.1.1

Faktorisiere $t$ aus $t^{2}$ heraus.

$(- 2 t - 11) \frac{14}{{(t \cdot t + 11 t)}^{8}}$

Schritt 4.7.1.2

Faktorisiere $t$ aus $11 t$ heraus.

$(- 2 t - 11) \frac{14}{{(t \cdot t + t \cdot 11)}^{8}}$

Schritt 4.7.1.3

Faktorisiere $t$ aus $t \cdot t + t \cdot 11$ heraus.

$(- 2 t - 11) \frac{14}{{(t (t + 11))}^{8}}$

Schritt 4.7.2

Wende die Produktregel auf $t (t + 11)$ an.

$(- 2 t - 11) \frac{14}{t^{8} {(t + 11)}^{8}}$

Schritt 4.8

Mutltipliziere $- 2 t - 11$ mit $\frac{14}{t^{8} {(t + 11)}^{8}}$ .

$\frac{(- 2 t - 11) \cdot 14}{t^{8} {(t + 11)}^{8}}$

Schritt 4.9

Bringe $14$ auf die linke Seite von $- 2 t - 11$ .

$\frac{14 \cdot (- 2 t - 11)}{t^{8} {(t + 11)}^{8}}$

Schritt 4.10

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 t$ heraus.

$\frac{14 (- (2 t) - 11)}{t^{8} {(t + 11)}^{8}}$

Schritt 4.11

Schreibe $- 11$ als $- 1 (11)$ um.

$\frac{14 (- (2 t) - 1 (11))}{t^{8} {(t + 11)}^{8}}$

Schritt 4.12

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 t) - 1 (11)$ heraus.

$\frac{14 (- (2 t + 11))}{t^{8} {(t + 11)}^{8}}$

Schritt 4.13

Schreibe $- (2 t + 11)$ als $- 1 (2 t + 11)$ um.

$\frac{14 (- 1 (2 t + 11))}{t^{8} {(t + 11)}^{8}}$

Schritt 4.14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{14 (2 t + 11)}{t^{8} {(t + 11)}^{8}}$