Analysis Beispiele

$2 t^{3} + 6 t - \frac{4}{t^{2}}$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 t^{3} + 6 t - \frac{4}{t^{2}}$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [2 t^{3}] + \frac{d}{d t} [6 t] + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}]$ .

$\frac{d}{d t} [2 t^{3}] + \frac{d}{d t} [6 t] + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d t} [2 t^{3}]$ .

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Schritt 2.1

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $2 t^{3}$ nach $t$ gleich $2 \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [6 t] + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$2 (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} [6 t] + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}]$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$6 t^{2} + \frac{d}{d t} [6 t] + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d t} [6 t]$ .

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Schritt 3.1

Da $6$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $6 t$ nach $t$ gleich $6 \frac{d}{d t} [t]$ .

$6 t^{2} + 6 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 t^{2} + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}]$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$6 t^{2} + 6 + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}]$

Schritt 4

Berechne $\frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}]$ .

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Schritt 4.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{4}{t^{2}}$ nach $t$ gleich $- 4 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}]$ .

$6 t^{2} + 6 - 4 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}]$

Schritt 4.2

Schreibe $\frac{1}{t^{2}}$ als ${(t^{2})}^{- 1}$ um.

$6 t^{2} + 6 - 4 \frac{d}{d t} [{(t^{2})}^{- 1}]$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{- 1}$ und $g (t) = t^{2}$ .

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Schritt 4.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $t^{2}$ .

$6 t^{2} + 6 - 4 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Schritt 4.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$6 t^{2} + 6 - 4 (- u^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Schritt 4.3.3

Ersetze alle $u$ durch $t^{2}$ .

$6 t^{2} + 6 - 4 (- {(t^{2})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Schritt 4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$6 t^{2} + 6 - 4 (- {(t^{2})}^{- 2} (2 t))$

Schritt 4.5

Multipliziere die Exponenten in ${(t^{2})}^{- 2}$ .

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Schritt 4.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 t^{2} + 6 - 4 (- t^{2 \cdot - 2} (2 t))$

Schritt 4.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$6 t^{2} + 6 - 4 (- t^{- 4} (2 t))$

Schritt 4.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$6 t^{2} + 6 - 4 (- 2 t^{- 4} t)$

Schritt 4.7

Potenziere $t$ mit $1$ .

$6 t^{2} + 6 - 4 (- 2 (t^{1} t^{- 4}))$

Schritt 4.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$6 t^{2} + 6 - 4 (- 2 t^{1 - 4})$

Schritt 4.9

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$6 t^{2} + 6 - 4 (- 2 t^{- 3})$

Schritt 4.10

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 4$ .

$6 t^{2} + 6 + 8 t^{- 3}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 t^{2} + 6 + 8 \frac{1}{t^{3}}$

Schritt 5.2

Kombiniere $8$ und $\frac{1}{t^{3}}$ .

$6 t^{2} + 6 + \frac{8}{t^{3}}$

Schritt 5.3

Stelle die Terme um.

$6 t^{2} + \frac{8}{t^{3}} + 6$