Analysis Beispiele

$f (t) = {(9 t + 2)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{\frac{2}{3}}$ und $g (t) = 9 t + 2$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $9 t + 2$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d t} [9 t + 2]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d t} [9 t + 2]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $9 t + 2$ .

$\frac{2}{3} {(9 t + 2)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d t} [9 t + 2]$

Schritt 2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(9 t + 2)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d t} [9 t + 2]$

Schritt 3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(9 t + 2)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d t} [9 t + 2]$

Schritt 4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2}{3} {(9 t + 2)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d t} [9 t + 2]$

Schritt 5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{2}{3} {(9 t + 2)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d t} [9 t + 2]$

Schritt 5.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$\frac{2}{3} {(9 t + 2)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d t} [9 t + 2]$

Schritt 6

Kombiniere Brüche.

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Schritt 6.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{2}{3} {(9 t + 2)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d t} [9 t + 2]$

Schritt 6.2

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und ${(9 t + 2)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 {(9 t + 2)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d t} [9 t + 2]$

Schritt 6.3

Bringe ${(9 t + 2)}^{- \frac{1}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3 {(9 t + 2)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d t} [9 t + 2]$

Schritt 7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $9 t + 2$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [9 t] + \frac{d}{d t} [2]$ .

$\frac{2}{3 {(9 t + 2)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d t} [9 t] + \frac{d}{d t} [2])$

Schritt 8

Da $9$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $9 t$ nach $t$ gleich $9 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{2}{3 {(9 t + 2)}^{\frac{1}{3}}} (9 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2])$

Schritt 9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2}{3 {(9 t + 2)}^{\frac{1}{3}}} (9 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [2])$

Schritt 10

Mutltipliziere $9$ mit $1$ .

$\frac{2}{3 {(9 t + 2)}^{\frac{1}{3}}} (9 + \frac{d}{d t} [2])$

Schritt 11

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$\frac{2}{3 {(9 t + 2)}^{\frac{1}{3}}} (9 + 0)$

Schritt 12

Vereinfache Terme.

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Schritt 12.1

Addiere $9$ und $0$ .

$\frac{2}{3 {(9 t + 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot 9$

Schritt 12.2

Kombiniere $\frac{2}{3 {(9 t + 2)}^{\frac{1}{3}}}$ und $9$ .

$\frac{2 \cdot 9}{3 {(9 t + 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 12.3

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$\frac{18}{3 {(9 t + 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 12.4

Faktorisiere $3$ aus $18$ heraus.

$\frac{3 \cdot 6}{3 {(9 t + 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 13

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.1

Faktorisiere $3$ aus $3 {(9 t + 2)}^{\frac{1}{3}}$ heraus.

$\frac{3 \cdot 6}{3 ({(9 t + 2)}^{\frac{1}{3}})}$

Schritt 13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 6}{3 {(9 t + 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 13.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{6}{{(9 t + 2)}^{\frac{1}{3}}}$