Analysis Beispiele

$f (t) = \frac{6}{\sqrt{t^{2} - 9}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{t^{2} - 9}$ als ${(t^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d t} [\frac{6}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 1.2

Da $6$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $\frac{6}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ nach $t$ gleich $6 \frac{d}{d t} [\frac{1}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$6 \frac{d}{d t} [\frac{1}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 1.3

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 1.3.1

Schreibe $\frac{1}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ als ${({(t^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ um.

$6 \frac{d}{d t} [{({(t^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Schritt 1.3.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(t^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 1.3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \frac{d}{d t} [{(t^{2} - 9)}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Schritt 1.3.2.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$6 \frac{d}{d t} [{(t^{2} - 9)}^{\frac{- 1}{2}}]$

Schritt 1.3.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$6 \frac{d}{d t} [{(t^{2} - 9)}^{- \frac{1}{2}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{- \frac{1}{2}}$ und $g (t) = t^{2} - 9$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $t^{2} - 9$ .

$6 (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [t^{2} - 9])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{1}{2}$ .

$6 (- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $t^{2} - 9$ .

$6 (- \frac{1}{2} {(t^{2} - 9)}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9])$

Schritt 3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$6 (- \frac{1}{2} {(t^{2} - 9)}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9])$

Schritt 4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$6 (- \frac{1}{2} {(t^{2} - 9)}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9])$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$6 (- \frac{1}{2} {(t^{2} - 9)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9])$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$6 (- \frac{1}{2} {(t^{2} - 9)}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9])$

Schritt 6.2

Subtrahiere $2$ von $- 1$ .

$6 (- \frac{1}{2} {(t^{2} - 9)}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9])$

Schritt 7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$6 (- \frac{1}{2} {(t^{2} - 9)}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9])$

Schritt 8

Kombiniere ${(t^{2} - 9)}^{- \frac{3}{2}}$ und $\frac{1}{2}$ .

$6 (- \frac{{(t^{2} - 9)}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9])$

Schritt 9

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.1

Bringe ${(t^{2} - 9)}^{- \frac{3}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 (- \frac{1}{2 {(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9])$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$- 6 (\frac{1}{2 {(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9])$

Schritt 10

Kombiniere $\frac{1}{2 {(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}}$ und $- 6$ .

$\frac{- 6}{2 {(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9]$

Schritt 11

Faktorisiere $2$ aus $- 6$ heraus.

$\frac{2 \cdot - 3}{2 {(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9]$

Schritt 12

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}$ heraus.

$\frac{2 \cdot - 3}{2 ({(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9]$

Schritt 12.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot - 3}{2 {(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9]$

Schritt 12.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 3}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9]$

Schritt 13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9]$

Schritt 14

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t^{2} - 9$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 9]$ .

$- \frac{3}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 9])$

Schritt 15

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- \frac{3}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}} (2 t + \frac{d}{d t} [- 9])$

Schritt 16

Da $- 9$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 9$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$- \frac{3}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}} (2 t + 0)$

Schritt 17

Kombiniere Brüche.

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Schritt 17.1

Addiere $2 t$ und $0$ .

$- \frac{3}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}} (2 t)$

Schritt 17.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 \frac{3}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}} t$

Schritt 17.3

Kombiniere $- 2$ und $\frac{3}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{- 2 \cdot 3}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}} t$

Schritt 17.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$\frac{- 6}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}} t$

Schritt 17.5

Kombiniere $\frac{- 6}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}}$ und $t$ .

$\frac{- 6 t}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 17.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{6 t}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}}$