Analysis Beispiele

$\frac{5}{9 w^{4}} + 5 \sqrt[3]{w}$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{5}{9 w^{4}} + 5 \sqrt[3]{w}$ nach $w$ $\frac{d}{d w} [\frac{5}{9 w^{4}}] + \frac{d}{d w} [5 \sqrt[3]{w}]$ .

$\frac{d}{d w} [\frac{5}{9 w^{4}}] + \frac{d}{d w} [5 \sqrt[3]{w}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d w} [\frac{5}{9 w^{4}}]$ .

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Schritt 2.1

Da $\frac{5}{9}$ konstant bezüglich $w$ ist, ist die Ableitung von $\frac{5}{9 w^{4}}$ nach $w$ gleich $\frac{5}{9} \frac{d}{d w} [\frac{1}{w^{4}}]$ .

$\frac{5}{9} \frac{d}{d w} [\frac{1}{w^{4}}] + \frac{d}{d w} [5 \sqrt[3]{w}]$

Schritt 2.2

Schreibe $\frac{1}{w^{4}}$ als ${(w^{4})}^{- 1}$ um.

$\frac{5}{9} \frac{d}{d w} [{(w^{4})}^{- 1}] + \frac{d}{d w} [5 \sqrt[3]{w}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ ist $f' (g (w)) g' (w)$ , mit $f (w) = w^{- 1}$ und $g (w) = w^{4}$ .

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Schritt 2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $w^{4}$ .

$\frac{5}{9} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d w} [w^{4}]) + \frac{d}{d w} [5 \sqrt[3]{w}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$\frac{5}{9} (- u^{- 2} \frac{d}{d w} [w^{4}]) + \frac{d}{d w} [5 \sqrt[3]{w}]$

Schritt 2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $w^{4}$ .

$\frac{5}{9} (- {(w^{4})}^{- 2} \frac{d}{d w} [w^{4}]) + \frac{d}{d w} [5 \sqrt[3]{w}]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ gleich $n w^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$\frac{5}{9} (- {(w^{4})}^{- 2} (4 w^{3})) + \frac{d}{d w} [5 \sqrt[3]{w}]$

Schritt 2.5

Multipliziere die Exponenten in ${(w^{4})}^{- 2}$ .

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Schritt 2.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5}{9} (- w^{4 \cdot - 2} (4 w^{3})) + \frac{d}{d w} [5 \sqrt[3]{w}]$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$\frac{5}{9} (- w^{- 8} (4 w^{3})) + \frac{d}{d w} [5 \sqrt[3]{w}]$

Schritt 2.6

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{5}{9} (- 4 w^{- 8} w^{3}) + \frac{d}{d w} [5 \sqrt[3]{w}]$

Schritt 2.7

Multipliziere $w^{- 8}$ mit $w^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.7.1

Bewege $w^{3}$ .

$\frac{5}{9} (- 4 (w^{3} w^{- 8})) + \frac{d}{d w} [5 \sqrt[3]{w}]$

Schritt 2.7.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{5}{9} (- 4 w^{3 - 8}) + \frac{d}{d w} [5 \sqrt[3]{w}]$

Schritt 2.7.3

Subtrahiere $8$ von $3$ .

$\frac{5}{9} (- 4 w^{- 5}) + \frac{d}{d w} [5 \sqrt[3]{w}]$

Schritt 2.8

Kombiniere $- 4$ und $\frac{5}{9}$ .

$\frac{- 4 \cdot 5}{9} w^{- 5} + \frac{d}{d w} [5 \sqrt[3]{w}]$

Schritt 2.9

Mutltipliziere $- 4$ mit $5$ .

$\frac{- 20}{9} w^{- 5} + \frac{d}{d w} [5 \sqrt[3]{w}]$

Schritt 2.10

Kombiniere $\frac{- 20}{9}$ und $w^{- 5}$ .

$\frac{- 20 w^{- 5}}{9} + \frac{d}{d w} [5 \sqrt[3]{w}]$

Schritt 2.11

Bringe $w^{- 5}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 20}{9 w^{5}} + \frac{d}{d w} [5 \sqrt[3]{w}]$

Schritt 2.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{20}{9 w^{5}} + \frac{d}{d w} [5 \sqrt[3]{w}]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d w} [5 \sqrt[3]{w}]$ .

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{w}$ als $w^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$- \frac{20}{9 w^{5}} + \frac{d}{d w} [5 w^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 3.2

Da $5$ konstant bezüglich $w$ ist, ist die Ableitung von $5 w^{\frac{1}{3}}$ nach $w$ gleich $5 \frac{d}{d w} [w^{\frac{1}{3}}]$ .

$- \frac{20}{9 w^{5}} + 5 \frac{d}{d w} [w^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ gleich $n w^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$- \frac{20}{9 w^{5}} + 5 (\frac{1}{3} w^{\frac{1}{3} - 1})$

Schritt 3.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{20}{9 w^{5}} + 5 (\frac{1}{3} w^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Schritt 3.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{20}{9 w^{5}} + 5 (\frac{1}{3} w^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 3.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{20}{9 w^{5}} + 5 (\frac{1}{3} w^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 3.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- \frac{20}{9 w^{5}} + 5 (\frac{1}{3} w^{\frac{1 - 3}{3}})$

Schritt 3.7.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$- \frac{20}{9 w^{5}} + 5 (\frac{1}{3} w^{\frac{- 2}{3}})$

Schritt 3.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{20}{9 w^{5}} + 5 (\frac{1}{3} w^{- \frac{2}{3}})$

Schritt 3.9

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $w^{- \frac{2}{3}}$ .

$- \frac{20}{9 w^{5}} + 5 \frac{w^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Schritt 3.10

Kombiniere $5$ und $\frac{w^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$- \frac{20}{9 w^{5}} + \frac{5 w^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Schritt 3.11

Bringe $w^{- \frac{2}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{20}{9 w^{5}} + \frac{5}{3 w^{\frac{2}{3}}}$