Gib eine Aufgabe ein ...
Analysis Beispiele
Schritt 1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 2
Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass gleich ist mit und .
Schritt 3
Schritt 3.1
Multipliziere die Exponenten in .
Schritt 3.1.1
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 3.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 3.3
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 4
Schritt 4.1
Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze durch .
Schritt 4.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 4.3
Ersetze alle durch .
Schritt 5
Schritt 5.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.2
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 5.3
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 5.4
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 5.5
Kombiniere und .
Schritt 6
Schritt 6.1
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 6.2
Vereinfache den Zähler.
Schritt 6.2.1
Wende den binomischen Lehrsatz an.
Schritt 6.2.2
Vereinfache jeden Term.
Schritt 6.2.2.1
Multipliziere die Exponenten in .
Schritt 6.2.2.1.1
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 6.2.2.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 6.2.2.2
Multipliziere die Exponenten in .
Schritt 6.2.2.2.1
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 6.2.2.2.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 6.2.2.3
Multipliziere mit durch Addieren der Exponenten.
Schritt 6.2.2.3.1
Bewege .
Schritt 6.2.2.3.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 6.2.2.3.2.1
Potenziere mit .
Schritt 6.2.2.3.2.2
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 6.2.2.3.3
Addiere und .
Schritt 6.2.2.4
Multipliziere mit durch Addieren der Exponenten.
Schritt 6.2.2.4.1
Bewege .
Schritt 6.2.2.4.2
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 6.2.2.4.3
Addiere und .
Schritt 6.2.3
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 6.2.4
Vereinfache.
Schritt 6.2.4.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 6.2.4.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 6.2.5
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 6.2.6
Vereinfache.
Schritt 6.2.6.1
Multipliziere mit durch Addieren der Exponenten.
Schritt 6.2.6.1.1
Bewege .
Schritt 6.2.6.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 6.2.6.1.2.1
Potenziere mit .
Schritt 6.2.6.1.2.2
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 6.2.6.1.3
Addiere und .
Schritt 6.2.6.2
Multipliziere mit durch Addieren der Exponenten.
Schritt 6.2.6.2.1
Bewege .
Schritt 6.2.6.2.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 6.2.6.2.2.1
Potenziere mit .
Schritt 6.2.6.2.2.2
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 6.2.6.2.3
Addiere und .
Schritt 6.2.6.3
Multipliziere mit durch Addieren der Exponenten.
Schritt 6.2.6.3.1
Bewege .
Schritt 6.2.6.3.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 6.2.6.3.2.1
Potenziere mit .
Schritt 6.2.6.3.2.2
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 6.2.6.3.3
Addiere und .
Schritt 6.2.6.4
Multipliziere mit durch Addieren der Exponenten.
Schritt 6.2.6.4.1
Bewege .
Schritt 6.2.6.4.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 6.2.6.4.2.1
Potenziere mit .
Schritt 6.2.6.4.2.2
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 6.2.6.4.3
Addiere und .
Schritt 6.2.7
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 6.2.8
Vereinfache.
Schritt 6.2.8.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 6.2.8.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 6.2.8.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 6.2.8.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 6.2.9
Schreibe als um.
Schritt 6.2.10
Multipliziere aus unter Verwendung der FOIL-Methode.
Schritt 6.2.10.1
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 6.2.10.2
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 6.2.10.3
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 6.2.11
Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.
Schritt 6.2.11.1
Vereinfache jeden Term.
Schritt 6.2.11.1.1
Multipliziere mit durch Addieren der Exponenten.
Schritt 6.2.11.1.1.1
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 6.2.11.1.1.2
Addiere und .
Schritt 6.2.11.1.2
Multipliziere mit durch Addieren der Exponenten.
Schritt 6.2.11.1.2.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 6.2.11.1.2.1.1
Potenziere mit .
Schritt 6.2.11.1.2.1.2
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 6.2.11.1.2.2
Addiere und .
Schritt 6.2.11.1.3
Multipliziere mit durch Addieren der Exponenten.
Schritt 6.2.11.1.3.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 6.2.11.1.3.1.1
Potenziere mit .
Schritt 6.2.11.1.3.1.2
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 6.2.11.1.3.2
Addiere und .
Schritt 6.2.11.1.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 6.2.11.2
Addiere und .
Schritt 6.2.12
Multipliziere aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.
Schritt 6.2.13
Vereinfache jeden Term.
Schritt 6.2.13.1
Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.
Schritt 6.2.13.2
Multipliziere mit durch Addieren der Exponenten.
Schritt 6.2.13.2.1
Bewege .
Schritt 6.2.13.2.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 6.2.13.2.2.1
Potenziere mit .
Schritt 6.2.13.2.2.2
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 6.2.13.2.3
Addiere und .
Schritt 6.2.13.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 6.2.13.4
Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.
Schritt 6.2.13.5
Multipliziere mit durch Addieren der Exponenten.
Schritt 6.2.13.5.1
Bewege .
Schritt 6.2.13.5.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 6.2.13.5.2.1
Potenziere mit .
Schritt 6.2.13.5.2.2
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 6.2.13.5.3
Addiere und .
Schritt 6.2.13.6
Mutltipliziere mit .
Schritt 6.2.13.7
Mutltipliziere mit .
Schritt 6.2.13.8
Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.
Schritt 6.2.13.9
Multipliziere mit durch Addieren der Exponenten.
Schritt 6.2.13.9.1
Bewege .
Schritt 6.2.13.9.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 6.2.13.9.2.1
Potenziere mit .
Schritt 6.2.13.9.2.2
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 6.2.13.9.3
Addiere und .
Schritt 6.2.13.10
Mutltipliziere mit .
Schritt 6.2.14
Addiere und .
Schritt 6.2.15
Addiere und .
Schritt 6.2.16
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 6.2.17
Vereinfache.
Schritt 6.2.17.1
Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.
Schritt 6.2.17.2
Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.
Schritt 6.2.17.3
Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.
Schritt 6.2.17.4
Multipliziere mit durch Addieren der Exponenten.
Schritt 6.2.17.4.1
Bewege .
Schritt 6.2.17.4.2
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 6.2.17.4.3
Addiere und .
Schritt 6.2.18
Vereinfache jeden Term.
Schritt 6.2.18.1
Multipliziere mit durch Addieren der Exponenten.
Schritt 6.2.18.1.1
Bewege .
Schritt 6.2.18.1.2
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 6.2.18.1.3
Addiere und .
Schritt 6.2.18.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 6.2.18.3
Multipliziere mit durch Addieren der Exponenten.
Schritt 6.2.18.3.1
Bewege .
Schritt 6.2.18.3.2
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 6.2.18.3.3
Addiere und .
Schritt 6.2.18.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 6.2.18.5
Multipliziere mit durch Addieren der Exponenten.
Schritt 6.2.18.5.1
Bewege .
Schritt 6.2.18.5.2
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 6.2.18.5.3
Addiere und .
Schritt 6.2.18.6
Mutltipliziere mit .
Schritt 6.2.19
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 6.2.20
Vereinfache.
Schritt 6.2.20.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 6.2.20.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 6.2.20.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 6.2.20.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 6.2.21
Subtrahiere von .
Schritt 6.2.22
Subtrahiere von .
Schritt 6.2.23
Subtrahiere von .
Schritt 6.2.24
Subtrahiere von .
Schritt 6.2.25
Schreibe in eine faktorisierte Form um.
Schritt 6.2.25.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 6.2.25.1.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 6.2.25.1.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 6.2.25.1.3
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 6.2.25.1.4
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 6.2.25.1.5
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 6.2.25.1.6
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 6.2.25.1.7
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 6.2.25.2
Faktorisiere mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.
Schritt 6.2.25.2.1
Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form , wobei ein Teiler der Konstanten und ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.
Schritt 6.2.25.2.2
Ermittle jede Kombination von . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.
Schritt 6.2.25.2.3
Setze ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich , folglich ist eine Wurzel des Polynoms.
Schritt 6.2.25.2.3.1
Setze in das Polynom ein.
Schritt 6.2.25.2.3.2
Potenziere mit .
Schritt 6.2.25.2.3.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 6.2.25.2.3.4
Potenziere mit .
Schritt 6.2.25.2.3.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 6.2.25.2.3.6
Subtrahiere von .
Schritt 6.2.25.2.3.7
Mutltipliziere mit .
Schritt 6.2.25.2.3.8
Addiere und .
Schritt 6.2.25.2.3.9
Subtrahiere von .
Schritt 6.2.25.2.4
Da eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.
Schritt 6.2.25.2.5
Dividiere durch .
Schritt 6.2.25.2.5.1
Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert .
+ | - | - | - | - |
Schritt 6.2.25.2.5.2
Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend durch den Term höchster Ordnung im Divisor .
- | |||||||||||
+ | - | - | - | - |
Schritt 6.2.25.2.5.3
Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.
- | |||||||||||
+ | - | - | - | - | |||||||
- | - |
Schritt 6.2.25.2.5.4
Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in
- | |||||||||||
+ | - | - | - | - | |||||||
+ | + |
Schritt 6.2.25.2.5.5
Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.
- | |||||||||||
+ | - | - | - | - | |||||||
+ | + | ||||||||||
- |
Schritt 6.2.25.2.5.6
Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.
- | |||||||||||
+ | - | - | - | - | |||||||
+ | + | ||||||||||
- | - |
Schritt 6.2.25.2.5.7
Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend durch den Term höchster Ordnung im Divisor .
- | - | ||||||||||
+ | - | - | - | - | |||||||
+ | + | ||||||||||
- | - |
Schritt 6.2.25.2.5.8
Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.
- | - | ||||||||||
+ | - | - | - | - | |||||||
+ | + | ||||||||||
- | - | ||||||||||
- | - |
Schritt 6.2.25.2.5.9
Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in
- | - | ||||||||||
+ | - | - | - | - | |||||||
+ | + | ||||||||||
- | - | ||||||||||
+ | + |
Schritt 6.2.25.2.5.10
Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.
- | - | ||||||||||
+ | - | - | - | - | |||||||
+ | + | ||||||||||
- | - | ||||||||||
+ | + | ||||||||||
- |
Schritt 6.2.25.2.5.11
Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.
- | - | ||||||||||
+ | - | - | - | - | |||||||
+ | + | ||||||||||
- | - | ||||||||||
+ | + | ||||||||||
- | - |
Schritt 6.2.25.2.5.12
Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend durch den Term höchster Ordnung im Divisor .
- | - | - | |||||||||
+ | - | - | - | - | |||||||
+ | + | ||||||||||
- | - | ||||||||||
+ | + | ||||||||||
- | - |
Schritt 6.2.25.2.5.13
Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.
- | - | - | |||||||||
+ | - | - | - | - | |||||||
+ | + | ||||||||||
- | - | ||||||||||
+ | + | ||||||||||
- | - | ||||||||||
- | - |
Schritt 6.2.25.2.5.14
Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in
- | - | - | |||||||||
+ | - | - | - | - | |||||||
+ | + | ||||||||||
- | - | ||||||||||
+ | + | ||||||||||
- | - | ||||||||||
+ | + |
Schritt 6.2.25.2.5.15
Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.
- | - | - | |||||||||
+ | - | - | - | - | |||||||
+ | + | ||||||||||
- | - | ||||||||||
+ | + | ||||||||||
- | - | ||||||||||
+ | + | ||||||||||
Schritt 6.2.25.2.5.16
Da der Rest gleich ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.
Schritt 6.2.25.2.6
Schreibe als eine Menge von Faktoren.
Schritt 6.2.25.3
Faktorisiere durch Gruppieren.
Schritt 6.2.25.4
Kombiniere Exponenten.
Schritt 6.2.25.4.1
Potenziere mit .
Schritt 6.2.25.4.2
Potenziere mit .
Schritt 6.2.25.4.3
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 6.2.25.4.4
Addiere und .
Schritt 6.3
Vereinfache den Nenner.
Schritt 6.3.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 6.3.1.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 6.3.1.2
Potenziere mit .
Schritt 6.3.1.3
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 6.3.1.4
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 6.3.2
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 6.4
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
Schritt 6.4.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 6.4.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Schritt 6.4.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 6.4.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 6.4.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 6.5
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
Schritt 6.5.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 6.5.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Schritt 6.5.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 6.5.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 6.5.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 6.6
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 6.7
Schreibe als um.
Schritt 6.8
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 6.9
Schreibe als um.
Schritt 6.10
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.