Analysis Beispiele

$\frac{e^{2 u} - e^{- 2 u}}{e^{2 u} + e^{- 2 u}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [\frac{f (u)}{g (u)}]$ gleich $\frac{g (u) \frac{d}{d u} [f (u)] - f (u) \frac{d}{d u} [g (u)]}{{g (u)}^{2}}$ ist mit $f (u) = e^{2 u} - e^{- 2 u}$ und $g (u) = e^{2 u} + e^{- 2 u}$ .

$\frac{(e^{2 u} + e^{- 2 u}) \frac{d}{d u} [e^{2 u} - e^{- 2 u}] - (e^{2 u} - e^{- 2 u}) \frac{d}{d u} [e^{2 u} + e^{- 2 u}]}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Schritt 2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{2 u} - e^{- 2 u}$ nach $u$ $\frac{d}{d u} [e^{2 u}] + \frac{d}{d u} [- e^{- 2 u}]$ .

$\frac{(e^{2 u} + e^{- 2 u}) (\frac{d}{d u} [e^{2 u}] + \frac{d}{d u} [- e^{- 2 u}]) - (e^{2 u} - e^{- 2 u}) \frac{d}{d u} [e^{2 u} + e^{- 2 u}]}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [f (g (u))]$ ist $f' (g (u)) g' (u)$ , mit $f (u) = e^{u}$ und $g (u) = 2 u$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $2 u$ .

$\frac{(e^{2 u} + e^{- 2 u}) (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d u} [2 u] + \frac{d}{d u} [- e^{- 2 u}]) - (e^{2 u} - e^{- 2 u}) \frac{d}{d u} [e^{2 u} + e^{- 2 u}]}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{(e^{2 u} + e^{- 2 u}) (e^{u_{1}} \frac{d}{d u} [2 u] + \frac{d}{d u} [- e^{- 2 u}]) - (e^{2 u} - e^{- 2 u}) \frac{d}{d u} [e^{2 u} + e^{- 2 u}]}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 u$ .

$\frac{(e^{2 u} + e^{- 2 u}) (e^{2 u} \frac{d}{d u} [2 u] + \frac{d}{d u} [- e^{- 2 u}]) - (e^{2 u} - e^{- 2 u}) \frac{d}{d u} [e^{2 u} + e^{- 2 u}]}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Da $2$ konstant bezüglich $u$ ist, ist die Ableitung von $2 u$ nach $u$ gleich $2 \frac{d}{d u} [u]$ .

$\frac{(e^{2 u} + e^{- 2 u}) (e^{2 u} (2 \frac{d}{d u} [u]) + \frac{d}{d u} [- e^{- 2 u}]) - (e^{2 u} - e^{- 2 u}) \frac{d}{d u} [e^{2 u} + e^{- 2 u}]}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(e^{2 u} + e^{- 2 u}) (e^{2 u} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d u} [- e^{- 2 u}]) - (e^{2 u} - e^{- 2 u}) \frac{d}{d u} [e^{2 u} + e^{- 2 u}]}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Schritt 4.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{(e^{2 u} + e^{- 2 u}) (e^{2 u} \cdot 2 + \frac{d}{d u} [- e^{- 2 u}]) - (e^{2 u} - e^{- 2 u}) \frac{d}{d u} [e^{2 u} + e^{- 2 u}]}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Schritt 4.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{2 u}$ .

$\frac{(e^{2 u} + e^{- 2 u}) (2 \cdot e^{2 u} + \frac{d}{d u} [- e^{- 2 u}]) - (e^{2 u} - e^{- 2 u}) \frac{d}{d u} [e^{2 u} + e^{- 2 u}]}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Schritt 4.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ist die Ableitung von $- e^{- 2 u}$ nach $u$ gleich $- \frac{d}{d u} [e^{- 2 u}]$ .

$\frac{(e^{2 u} + e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} - \frac{d}{d u} [e^{- 2 u}]) - (e^{2 u} - e^{- 2 u}) \frac{d}{d u} [e^{2 u} + e^{- 2 u}]}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [f (g (u))]$ ist $f' (g (u)) g' (u)$ , mit $f (u) = e^{u}$ und $g (u) = - 2 u$ .

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Schritt 5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $- 2 u$ .

$\frac{(e^{2 u} + e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} - (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d u} [- 2 u])) - (e^{2 u} - e^{- 2 u}) \frac{d}{d u} [e^{2 u} + e^{- 2 u}]}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Schritt 5.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{(e^{2 u} + e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} - (e^{u_{2}} \frac{d}{d u} [- 2 u])) - (e^{2 u} - e^{- 2 u}) \frac{d}{d u} [e^{2 u} + e^{- 2 u}]}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Schritt 5.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $- 2 u$ .

$\frac{(e^{2 u} + e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} - (e^{- 2 u} \frac{d}{d u} [- 2 u])) - (e^{2 u} - e^{- 2 u}) \frac{d}{d u} [e^{2 u} + e^{- 2 u}]}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Schritt 6

Differenziere.

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Schritt 6.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $u$ ist, ist die Ableitung von $- 2 u$ nach $u$ gleich $- 2 \frac{d}{d u} [u]$ .

$\frac{(e^{2 u} + e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} - e^{- 2 u} (- 2 \frac{d}{d u} [u])) - (e^{2 u} - e^{- 2 u}) \frac{d}{d u} [e^{2 u} + e^{- 2 u}]}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$\frac{(e^{2 u} + e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} + 2 e^{- 2 u} \frac{d}{d u} [u]) - (e^{2 u} - e^{- 2 u}) \frac{d}{d u} [e^{2 u} + e^{- 2 u}]}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Schritt 6.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(e^{2 u} + e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} + 2 e^{- 2 u} \cdot 1) - (e^{2 u} - e^{- 2 u}) \frac{d}{d u} [e^{2 u} + e^{- 2 u}]}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Schritt 6.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{(e^{2 u} + e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} + 2 e^{- 2 u}) - (e^{2 u} - e^{- 2 u}) \frac{d}{d u} [e^{2 u} + e^{- 2 u}]}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Schritt 6.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{2 u} + e^{- 2 u}$ nach $u$ $\frac{d}{d u} [e^{2 u}] + \frac{d}{d u} [e^{- 2 u}]$ .

$\frac{(e^{2 u} + e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} + 2 e^{- 2 u}) - (e^{2 u} - e^{- 2 u}) (\frac{d}{d u} [e^{2 u}] + \frac{d}{d u} [e^{- 2 u}])}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Schritt 7

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [f (g (u))]$ ist $f' (g (u)) g' (u)$ , mit $f (u) = e^{u}$ und $g (u) = 2 u$ .

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Schritt 7.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{3}$ durch $2 u$ .

$\frac{(e^{2 u} + e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} + 2 e^{- 2 u}) - (e^{2 u} - e^{- 2 u}) (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d u} [2 u] + \frac{d}{d u} [e^{- 2 u}])}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Schritt 7.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ gleich $a^{u_{3}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{(e^{2 u} + e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} + 2 e^{- 2 u}) - (e^{2 u} - e^{- 2 u}) (e^{u_{3}} \frac{d}{d u} [2 u] + \frac{d}{d u} [e^{- 2 u}])}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Schritt 7.3

Ersetze alle $u_{3}$ durch $2 u$ .

$\frac{(e^{2 u} + e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} + 2 e^{- 2 u}) - (e^{2 u} - e^{- 2 u}) (e^{2 u} \frac{d}{d u} [2 u] + \frac{d}{d u} [e^{- 2 u}])}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Schritt 8

Differenziere.

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Schritt 8.1

Da $2$ konstant bezüglich $u$ ist, ist die Ableitung von $2 u$ nach $u$ gleich $2 \frac{d}{d u} [u]$ .

$\frac{(e^{2 u} + e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} + 2 e^{- 2 u}) - (e^{2 u} - e^{- 2 u}) (e^{2 u} (2 \frac{d}{d u} [u]) + \frac{d}{d u} [e^{- 2 u}])}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Schritt 8.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(e^{2 u} + e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} + 2 e^{- 2 u}) - (e^{2 u} - e^{- 2 u}) (e^{2 u} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d u} [e^{- 2 u}])}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Schritt 8.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 8.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{(e^{2 u} + e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} + 2 e^{- 2 u}) - (e^{2 u} - e^{- 2 u}) (e^{2 u} \cdot 2 + \frac{d}{d u} [e^{- 2 u}])}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Schritt 8.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{2 u}$ .

$\frac{(e^{2 u} + e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} + 2 e^{- 2 u}) - (e^{2 u} - e^{- 2 u}) (2 \cdot e^{2 u} + \frac{d}{d u} [e^{- 2 u}])}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Schritt 9

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [f (g (u))]$ ist $f' (g (u)) g' (u)$ , mit $f (u) = e^{u}$ und $g (u) = - 2 u$ .

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Schritt 9.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{4}$ durch $- 2 u$ .

$\frac{(e^{2 u} + e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} + 2 e^{- 2 u}) - (e^{2 u} - e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} + \frac{d}{d u_{4}} [e^{u_{4}}] \frac{d}{d u} [- 2 u])}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Schritt 9.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{4}} [a^{u_{4}}]$ gleich $a^{u_{4}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{(e^{2 u} + e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} + 2 e^{- 2 u}) - (e^{2 u} - e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} + e^{u_{4}} \frac{d}{d u} [- 2 u])}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Schritt 9.3

Ersetze alle $u_{4}$ durch $- 2 u$ .

$\frac{(e^{2 u} + e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} + 2 e^{- 2 u}) - (e^{2 u} - e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} + e^{- 2 u} \frac{d}{d u} [- 2 u])}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Schritt 10

Differenziere.

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Schritt 10.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $u$ ist, ist die Ableitung von $- 2 u$ nach $u$ gleich $- 2 \frac{d}{d u} [u]$ .

$\frac{(e^{2 u} + e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} + 2 e^{- 2 u}) - (e^{2 u} - e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} + e^{- 2 u} (- 2 \frac{d}{d u} [u]))}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Schritt 10.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(e^{2 u} + e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} + 2 e^{- 2 u}) - (e^{2 u} - e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} + e^{- 2 u} (- 2 \cdot 1))}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Schritt 10.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 10.3.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{(e^{2 u} + e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} + 2 e^{- 2 u}) - (e^{2 u} - e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} + e^{- 2 u} \cdot - 2)}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Schritt 10.3.2

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $e^{- 2 u}$ .

$\frac{(e^{2 u} + e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} + 2 e^{- 2 u}) - (e^{2 u} - e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} - 2 \cdot e^{- 2 u})}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(e^{2 u} + e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} + 2 e^{- 2 u}) + (- e^{2 u} - - e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} - 2 e^{- 2 u})}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Schritt 11.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.2.1.1

Multipliziere $(e^{2 u} + e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} + 2 e^{- 2 u})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 11.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{e^{2 u} (2 e^{2 u} + 2 e^{- 2 u}) + e^{- 2 u} (2 e^{2 u} + 2 e^{- 2 u}) + (- e^{2 u} - - e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} - 2 e^{- 2 u})}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Schritt 11.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{e^{2 u} (2 e^{2 u}) + e^{2 u} (2 e^{- 2 u}) + e^{- 2 u} (2 e^{2 u} + 2 e^{- 2 u}) + (- e^{2 u} - - e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} - 2 e^{- 2 u})}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Schritt 11.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{e^{2 u} (2 e^{2 u}) + e^{2 u} (2 e^{- 2 u}) + e^{- 2 u} (2 e^{2 u}) + e^{- 2 u} (2 e^{- 2 u}) + (- e^{2 u} - - e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} - 2 e^{- 2 u})}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Schritt 11.2.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 11.2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.2.1.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 e^{2 u} e^{2 u} + e^{2 u} (2 e^{- 2 u}) + e^{- 2 u} (2 e^{2 u}) + e^{- 2 u} (2 e^{- 2 u}) + (- e^{2 u} - - e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} - 2 e^{- 2 u})}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Schritt 11.2.1.2.1.2

Multipliziere $e^{2 u}$ mit $e^{2 u}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 11.2.1.2.1.2.1

Bewege $e^{2 u}$ .

$\frac{2 (e^{2 u} e^{2 u}) + e^{2 u} (2 e^{- 2 u}) + e^{- 2 u} (2 e^{2 u}) + e^{- 2 u} (2 e^{- 2 u}) + (- e^{2 u} - - e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} - 2 e^{- 2 u})}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Schritt 11.2.1.2.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 e^{2 u + 2 u} + e^{2 u} (2 e^{- 2 u}) + e^{- 2 u} (2 e^{2 u}) + e^{- 2 u} (2 e^{- 2 u}) + (- e^{2 u} - - e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} - 2 e^{- 2 u})}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Schritt 11.2.1.2.1.2.3

Addiere $2 u$ und $2 u$ .

$\frac{2 e^{4 u} + e^{2 u} (2 e^{- 2 u}) + e^{- 2 u} (2 e^{2 u}) + e^{- 2 u} (2 e^{- 2 u}) + (- e^{2 u} - - e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} - 2 e^{- 2 u})}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Schritt 11.2.1.2.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 e^{4 u} + 2 e^{2 u} e^{- 2 u} + e^{- 2 u} (2 e^{2 u}) + e^{- 2 u} (2 e^{- 2 u}) + (- e^{2 u} - - e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} - 2 e^{- 2 u})}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Schritt 11.2.1.2.1.4

Multipliziere $e^{2 u}$ mit $e^{- 2 u}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 11.2.1.2.1.4.1

Bewege $e^{- 2 u}$ .

$\frac{2 e^{4 u} + 2 (e^{- 2 u} e^{2 u}) + e^{- 2 u} (2 e^{2 u}) + e^{- 2 u} (2 e^{- 2 u}) + (- e^{2 u} - - e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} - 2 e^{- 2 u})}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Schritt 11.2.1.2.1.4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 e^{4 u} + 2 e^{- 2 u + 2 u} + e^{- 2 u} (2 e^{2 u}) + e^{- 2 u} (2 e^{- 2 u}) + (- e^{2 u} - - e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} - 2 e^{- 2 u})}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Schritt 11.2.1.2.1.4.3

Addiere $- 2 u$ und $2 u$ .

$\frac{2 e^{4 u} + 2 e^{0} + e^{- 2 u} (2 e^{2 u}) + e^{- 2 u} (2 e^{- 2 u}) + (- e^{2 u} - - e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} - 2 e^{- 2 u})}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Schritt 11.2.1.2.1.5

Vereinfache $2 e^{0}$ .

$\frac{2 e^{4 u} + 2 + e^{- 2 u} (2 e^{2 u}) + e^{- 2 u} (2 e^{- 2 u}) + (- e^{2 u} - - e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} - 2 e^{- 2 u})}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Schritt 11.2.1.2.1.6

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 e^{4 u} + 2 + 2 e^{- 2 u} e^{2 u} + e^{- 2 u} (2 e^{- 2 u}) + (- e^{2 u} - - e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} - 2 e^{- 2 u})}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Schritt 11.2.1.2.1.7

Multipliziere $e^{- 2 u}$ mit $e^{2 u}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 11.2.1.2.1.7.1

Bewege $e^{2 u}$ .

$\frac{2 e^{4 u} + 2 + 2 (e^{2 u} e^{- 2 u}) + e^{- 2 u} (2 e^{- 2 u}) + (- e^{2 u} - - e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} - 2 e^{- 2 u})}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Schritt 11.2.1.2.1.7.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 e^{4 u} + 2 + 2 e^{2 u - 2 u} + e^{- 2 u} (2 e^{- 2 u}) + (- e^{2 u} - - e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} - 2 e^{- 2 u})}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Schritt 11.2.1.2.1.7.3

Subtrahiere $2 u$ von $2 u$ .

$\frac{2 e^{4 u} + 2 + 2 e^{0} + e^{- 2 u} (2 e^{- 2 u}) + (- e^{2 u} - - e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} - 2 e^{- 2 u})}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Schritt 11.2.1.2.1.8

Vereinfache $2 e^{0}$ .

$\frac{2 e^{4 u} + 2 + 2 + e^{- 2 u} (2 e^{- 2 u}) + (- e^{2 u} - - e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} - 2 e^{- 2 u})}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Schritt 11.2.1.2.1.9

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 e^{4 u} + 2 + 2 + 2 e^{- 2 u} e^{- 2 u} + (- e^{2 u} - - e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} - 2 e^{- 2 u})}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Schritt 11.2.1.2.1.10

Multipliziere $e^{- 2 u}$ mit $e^{- 2 u}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 11.2.1.2.1.10.1

Bewege $e^{- 2 u}$ .

$\frac{2 e^{4 u} + 2 + 2 + 2 (e^{- 2 u} e^{- 2 u}) + (- e^{2 u} - - e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} - 2 e^{- 2 u})}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Schritt 11.2.1.2.1.10.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 e^{4 u} + 2 + 2 + 2 e^{- 2 u - 2 u} + (- e^{2 u} - - e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} - 2 e^{- 2 u})}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Schritt 11.2.1.2.1.10.3

Subtrahiere $2 u$ von $- 2 u$ .

$\frac{2 e^{4 u} + 2 + 2 + 2 e^{- 4 u} + (- e^{2 u} - - e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} - 2 e^{- 2 u})}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Schritt 11.2.1.2.2

Addiere $2$ und $2$ .

$\frac{2 e^{4 u} + 4 + 2 e^{- 4 u} + (- e^{2 u} - - e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} - 2 e^{- 2 u})}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Schritt 11.2.1.3

Multipliziere $- - e^{- 2 u}$ .

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Schritt 11.2.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{2 e^{4 u} + 4 + 2 e^{- 4 u} + (- e^{2 u} + 1 e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} - 2 e^{- 2 u})}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Schritt 11.2.1.3.2

Mutltipliziere $e^{- 2 u}$ mit $1$ .

$\frac{2 e^{4 u} + 4 + 2 e^{- 4 u} + (- e^{2 u} + e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} - 2 e^{- 2 u})}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Schritt 11.2.1.4

Multipliziere $(- e^{2 u} + e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} - 2 e^{- 2 u})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 11.2.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 e^{4 u} + 4 + 2 e^{- 4 u} - e^{2 u} (2 e^{2 u} - 2 e^{- 2 u}) + e^{- 2 u} (2 e^{2 u} - 2 e^{- 2 u})}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Schritt 11.2.1.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 e^{4 u} + 4 + 2 e^{- 4 u} - e^{2 u} (2 e^{2 u}) - e^{2 u} (- 2 e^{- 2 u}) + e^{- 2 u} (2 e^{2 u} - 2 e^{- 2 u})}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Schritt 11.2.1.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 e^{4 u} + 4 + 2 e^{- 4 u} - e^{2 u} (2 e^{2 u}) - e^{2 u} (- 2 e^{- 2 u}) + e^{- 2 u} (2 e^{2 u}) + e^{- 2 u} (- 2 e^{- 2 u})}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Schritt 11.2.1.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 11.2.1.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.2.1.5.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 e^{4 u} + 4 + 2 e^{- 4 u} - 1 \cdot 2 e^{2 u} e^{2 u} - e^{2 u} (- 2 e^{- 2 u}) + e^{- 2 u} (2 e^{2 u}) + e^{- 2 u} (- 2 e^{- 2 u})}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Schritt 11.2.1.5.1.2

Multipliziere $e^{2 u}$ mit $e^{2 u}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 11.2.1.5.1.2.1

Bewege $e^{2 u}$ .

$\frac{2 e^{4 u} + 4 + 2 e^{- 4 u} - 1 \cdot 2 (e^{2 u} e^{2 u}) - e^{2 u} (- 2 e^{- 2 u}) + e^{- 2 u} (2 e^{2 u}) + e^{- 2 u} (- 2 e^{- 2 u})}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Schritt 11.2.1.5.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 e^{4 u} + 4 + 2 e^{- 4 u} - 1 \cdot 2 e^{2 u + 2 u} - e^{2 u} (- 2 e^{- 2 u}) + e^{- 2 u} (2 e^{2 u}) + e^{- 2 u} (- 2 e^{- 2 u})}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Schritt 11.2.1.5.1.2.3

Addiere $2 u$ und $2 u$ .

$\frac{2 e^{4 u} + 4 + 2 e^{- 4 u} - 1 \cdot 2 e^{4 u} - e^{2 u} (- 2 e^{- 2 u}) + e^{- 2 u} (2 e^{2 u}) + e^{- 2 u} (- 2 e^{- 2 u})}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Schritt 11.2.1.5.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{2 e^{4 u} + 4 + 2 e^{- 4 u} - 2 e^{4 u} - e^{2 u} (- 2 e^{- 2 u}) + e^{- 2 u} (2 e^{2 u}) + e^{- 2 u} (- 2 e^{- 2 u})}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Schritt 11.2.1.5.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 e^{4 u} + 4 + 2 e^{- 4 u} - 2 e^{4 u} - 1 \cdot - 2 e^{2 u} e^{- 2 u} + e^{- 2 u} (2 e^{2 u}) + e^{- 2 u} (- 2 e^{- 2 u})}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Schritt 11.2.1.5.1.5

Multipliziere $e^{2 u}$ mit $e^{- 2 u}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 11.2.1.5.1.5.1

Bewege $e^{- 2 u}$ .

$\frac{2 e^{4 u} + 4 + 2 e^{- 4 u} - 2 e^{4 u} - 1 \cdot - 2 (e^{- 2 u} e^{2 u}) + e^{- 2 u} (2 e^{2 u}) + e^{- 2 u} (- 2 e^{- 2 u})}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Schritt 11.2.1.5.1.5.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 e^{4 u} + 4 + 2 e^{- 4 u} - 2 e^{4 u} - 1 \cdot - 2 e^{- 2 u + 2 u} + e^{- 2 u} (2 e^{2 u}) + e^{- 2 u} (- 2 e^{- 2 u})}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Schritt 11.2.1.5.1.5.3

Addiere $- 2 u$ und $2 u$ .

$\frac{2 e^{4 u} + 4 + 2 e^{- 4 u} - 2 e^{4 u} - 1 \cdot - 2 e^{0} + e^{- 2 u} (2 e^{2 u}) + e^{- 2 u} (- 2 e^{- 2 u})}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Schritt 11.2.1.5.1.6

Vereinfache $- 1 \cdot - 2 e^{0}$ .

$\frac{2 e^{4 u} + 4 + 2 e^{- 4 u} - 2 e^{4 u} - 1 \cdot - 2 + e^{- 2 u} (2 e^{2 u}) + e^{- 2 u} (- 2 e^{- 2 u})}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Schritt 11.2.1.5.1.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$\frac{2 e^{4 u} + 4 + 2 e^{- 4 u} - 2 e^{4 u} + 2 + e^{- 2 u} (2 e^{2 u}) + e^{- 2 u} (- 2 e^{- 2 u})}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Schritt 11.2.1.5.1.8

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 e^{4 u} + 4 + 2 e^{- 4 u} - 2 e^{4 u} + 2 + 2 e^{- 2 u} e^{2 u} + e^{- 2 u} (- 2 e^{- 2 u})}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Schritt 11.2.1.5.1.9

Multipliziere $e^{- 2 u}$ mit $e^{2 u}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 11.2.1.5.1.9.1

Bewege $e^{2 u}$ .

$\frac{2 e^{4 u} + 4 + 2 e^{- 4 u} - 2 e^{4 u} + 2 + 2 (e^{2 u} e^{- 2 u}) + e^{- 2 u} (- 2 e^{- 2 u})}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Schritt 11.2.1.5.1.9.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 e^{4 u} + 4 + 2 e^{- 4 u} - 2 e^{4 u} + 2 + 2 e^{2 u - 2 u} + e^{- 2 u} (- 2 e^{- 2 u})}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Schritt 11.2.1.5.1.9.3

Subtrahiere $2 u$ von $2 u$ .

$\frac{2 e^{4 u} + 4 + 2 e^{- 4 u} - 2 e^{4 u} + 2 + 2 e^{0} + e^{- 2 u} (- 2 e^{- 2 u})}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Schritt 11.2.1.5.1.10

Vereinfache $2 e^{0}$ .

$\frac{2 e^{4 u} + 4 + 2 e^{- 4 u} - 2 e^{4 u} + 2 + 2 + e^{- 2 u} (- 2 e^{- 2 u})}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Schritt 11.2.1.5.1.11

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 e^{4 u} + 4 + 2 e^{- 4 u} - 2 e^{4 u} + 2 + 2 - 2 e^{- 2 u} e^{- 2 u}}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Schritt 11.2.1.5.1.12

Multipliziere $e^{- 2 u}$ mit $e^{- 2 u}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 11.2.1.5.1.12.1

Bewege $e^{- 2 u}$ .

$\frac{2 e^{4 u} + 4 + 2 e^{- 4 u} - 2 e^{4 u} + 2 + 2 - 2 (e^{- 2 u} e^{- 2 u})}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Schritt 11.2.1.5.1.12.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 e^{4 u} + 4 + 2 e^{- 4 u} - 2 e^{4 u} + 2 + 2 - 2 e^{- 2 u - 2 u}}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Schritt 11.2.1.5.1.12.3

Subtrahiere $2 u$ von $- 2 u$ .

$\frac{2 e^{4 u} + 4 + 2 e^{- 4 u} - 2 e^{4 u} + 2 + 2 - 2 e^{- 4 u}}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Schritt 11.2.1.5.2

Addiere $2$ und $2$ .

$\frac{2 e^{4 u} + 4 + 2 e^{- 4 u} - 2 e^{4 u} + 4 - 2 e^{- 4 u}}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Schritt 11.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 e^{4 u} + 4 + 2 e^{- 4 u} - 2 e^{4 u} + 4 - 2 e^{- 4 u}$ .

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Schritt 11.2.2.1

Subtrahiere $2 e^{4 u}$ von $2 e^{4 u}$ .

$\frac{4 + 2 e^{- 4 u} + 0 + 4 - 2 e^{- 4 u}}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Schritt 11.2.2.2

Addiere $4 + 2 e^{- 4 u}$ und $0$ .

$\frac{4 + 2 e^{- 4 u} + 4 - 2 e^{- 4 u}}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Schritt 11.2.2.3

Subtrahiere $2 e^{- 4 u}$ von $2 e^{- 4 u}$ .

$\frac{4 + 0 + 4}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Schritt 11.2.2.4

Addiere $4$ und $0$ .

$\frac{4 + 4}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Schritt 11.2.3

Addiere $4$ und $4$ .

$\frac{8}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$