Analysis Beispiele

$y = t \ln^{2} (8 t)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ gleich $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ist mit $f (t) = t$ und $g (t) = \ln^{2} (8 t)$ .

$t \frac{d}{d t} [\ln^{2} (8 t)] + \ln^{2} (8 t) \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{2}$ und $g (t) = \ln (8 t)$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\ln (8 t)$ .

$t (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d t} [\ln (8 t)]) + \ln^{2} (8 t) \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$t (2 u_{1} \frac{d}{d t} [\ln (8 t)]) + \ln^{2} (8 t) \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\ln (8 t)$ .

$t (2 \ln (8 t) \frac{d}{d t} [\ln (8 t)]) + \ln^{2} (8 t) \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = \ln (t)$ und $g (t) = 8 t$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $8 t$ .

$t (2 \ln (8 t) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d t} [8 t])) + \ln^{2} (8 t) \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 3.2

Die Ableitung von $\ln (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\frac{1}{u_{2}}$ .

$t (2 \ln (8 t) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d t} [8 t])) + \ln^{2} (8 t) \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $8 t$ .

$t (2 \ln (8 t) (\frac{1}{8 t} \frac{d}{d t} [8 t])) + \ln^{2} (8 t) \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Kombiniere $\frac{1}{8 t}$ und $2$ .

$t (\frac{2}{8 t} \ln (8 t) \frac{d}{d t} [8 t]) + \ln^{2} (8 t) \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 4.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.2.1

Kombiniere $\frac{2}{8 t}$ und $\ln (8 t)$ .

$t (\frac{2 \ln (8 t)}{8 t} \frac{d}{d t} [8 t]) + \ln^{2} (8 t) \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 4.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $8$ .

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Schritt 4.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \ln (8 t)$ heraus.

$t (\frac{2 (\ln (8 t))}{8 t} \frac{d}{d t} [8 t]) + \ln^{2} (8 t) \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 4.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8 t$ heraus.

$t (\frac{2 (\ln (8 t))}{2 (4 t)} \frac{d}{d t} [8 t]) + \ln^{2} (8 t) \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 4.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$t (\frac{2 \ln (8 t)}{2 (4 t)} \frac{d}{d t} [8 t]) + \ln^{2} (8 t) \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 4.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$t (\frac{\ln (8 t)}{4 t} \frac{d}{d t} [8 t]) + \ln^{2} (8 t) \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 4.2.3

Kombiniere $\frac{\ln (8 t)}{4 t}$ und $t$ .

$\frac{\ln (8 t) t}{4 t} \frac{d}{d t} [8 t] + \ln^{2} (8 t) \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 4.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $t$ .

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Schritt 4.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\ln (8 t) t}{4 t} \frac{d}{d t} [8 t] + \ln^{2} (8 t) \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 4.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\ln (8 t)}{4} \frac{d}{d t} [8 t] + \ln^{2} (8 t) \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 4.3

Da $8$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $8 t$ nach $t$ gleich $8 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{\ln (8 t)}{4} (8 \frac{d}{d t} [t]) + \ln^{2} (8 t) \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 4.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.4.1

Kombiniere $8$ und $\frac{\ln (8 t)}{4}$ .

$\frac{8 \ln (8 t)}{4} \frac{d}{d t} [t] + \ln^{2} (8 t) \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 4.4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $4$ .

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Schritt 4.4.2.1

Faktorisiere $4$ aus $8 \ln (8 t)$ heraus.

$\frac{4 (2 \ln (8 t))}{4} \frac{d}{d t} [t] + \ln^{2} (8 t) \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 4.4.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.4.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\frac{4 (2 \ln (8 t))}{4 (1)} \frac{d}{d t} [t] + \ln^{2} (8 t) \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 4.4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 (2 \ln (8 t))}{4 \cdot 1} \frac{d}{d t} [t] + \ln^{2} (8 t) \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 4.4.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 \ln (8 t)}{1} \frac{d}{d t} [t] + \ln^{2} (8 t) \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 4.4.2.2.4

Dividiere $2 \ln (8 t)$ durch $1$ .

$2 \ln (8 t) \frac{d}{d t} [t] + \ln^{2} (8 t) \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 4.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \ln (8 t) \cdot 1 + \ln^{2} (8 t) \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 4.6

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 \ln (8 t) + \ln^{2} (8 t) \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 4.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \ln (8 t) + \ln^{2} (8 t) \cdot 1$

Schritt 4.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.8.1

Mutltipliziere $\ln^{2} (8 t)$ mit $1$ .

$2 \ln (8 t) + \ln^{2} (8 t)$

Schritt 4.8.2

Stelle die Terme um.

$\ln^{2} (8 t) + 2 \ln (8 t)$