Analysis Beispiele

$y = \sqrt[5]{t} + 4 \sqrt{t^{5}}$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sqrt[5]{t} + 4 \sqrt{t^{5}}$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [\sqrt[5]{t}] + \frac{d}{d t} [4 \sqrt{t^{5}}]$ .

$\frac{d}{d t} [\sqrt[5]{t}] + \frac{d}{d t} [4 \sqrt{t^{5}}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d t} [\sqrt[5]{t}]$ .

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[5]{t}$ als $t^{\frac{1}{5}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{5}}] + \frac{d}{d t} [4 \sqrt{t^{5}}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{5} t^{\frac{1}{5} - 1} + \frac{d}{d t} [4 \sqrt{t^{5}}]$

Schritt 2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{5} t^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} + \frac{d}{d t} [4 \sqrt{t^{5}}]$

Schritt 2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{5} t^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} + \frac{d}{d t} [4 \sqrt{t^{5}}]$

Schritt 2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{5} t^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}} + \frac{d}{d t} [4 \sqrt{t^{5}}]$

Schritt 2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{1}{5} t^{\frac{1 - 5}{5}} + \frac{d}{d t} [4 \sqrt{t^{5}}]$

Schritt 2.6.2

Subtrahiere $5$ von $1$ .

$\frac{1}{5} t^{\frac{- 4}{5}} + \frac{d}{d t} [4 \sqrt{t^{5}}]$

Schritt 2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{5} t^{- \frac{4}{5}} + \frac{d}{d t} [4 \sqrt{t^{5}}]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d t} [4 \sqrt{t^{5}}]$ .

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{t^{5}}$ als $t^{\frac{5}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{5} t^{- \frac{4}{5}} + \frac{d}{d t} [4 t^{\frac{5}{2}}]$

Schritt 3.2

Da $4$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $4 t^{\frac{5}{2}}$ nach $t$ gleich $4 \frac{d}{d t} [t^{\frac{5}{2}}]$ .

$\frac{1}{5} t^{- \frac{4}{5}} + 4 \frac{d}{d t} [t^{\frac{5}{2}}]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{5}{2}$ .

$\frac{1}{5} t^{- \frac{4}{5}} + 4 (\frac{5}{2} t^{\frac{5}{2} - 1})$

Schritt 3.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{5} t^{- \frac{4}{5}} + 4 (\frac{5}{2} t^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 3.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{5} t^{- \frac{4}{5}} + 4 (\frac{5}{2} t^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 3.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{5} t^{- \frac{4}{5}} + 4 (\frac{5}{2} t^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 3.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{5} t^{- \frac{4}{5}} + 4 (\frac{5}{2} t^{\frac{5 - 2}{2}})$

Schritt 3.7.2

Subtrahiere $2$ von $5$ .

$\frac{1}{5} t^{- \frac{4}{5}} + 4 (\frac{5}{2} t^{\frac{3}{2}})$

Schritt 3.8

Kombiniere $\frac{5}{2}$ und $t^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{5} t^{- \frac{4}{5}} + 4 \frac{5 t^{\frac{3}{2}}}{2}$

Schritt 3.9

Kombiniere $4$ und $\frac{5 t^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{1}{5} t^{- \frac{4}{5}} + \frac{4 (5 t^{\frac{3}{2}})}{2}$

Schritt 3.10

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

$\frac{1}{5} t^{- \frac{4}{5}} + \frac{20 t^{\frac{3}{2}}}{2}$

Schritt 3.11

Faktorisiere $2$ aus $20 t^{\frac{3}{2}}$ heraus.

$\frac{1}{5} t^{- \frac{4}{5}} + \frac{2 (10 t^{\frac{3}{2}})}{2}$

Schritt 3.12

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.12.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{1}{5} t^{- \frac{4}{5}} + \frac{2 (10 t^{\frac{3}{2}})}{2 (1)}$

Schritt 3.12.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{5} t^{- \frac{4}{5}} + \frac{2 (10 t^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.12.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{5} t^{- \frac{4}{5}} + \frac{10 t^{\frac{3}{2}}}{1}$

Schritt 3.12.4

Dividiere $10 t^{\frac{3}{2}}$ durch $1$ .

$\frac{1}{5} t^{- \frac{4}{5}} + 10 t^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{t^{\frac{4}{5}}} + 10 t^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{1}{5}$ mit $\frac{1}{t^{\frac{4}{5}}}$ .

$\frac{1}{5 t^{\frac{4}{5}}} + 10 t^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.3

Stelle die Terme um.

$10 t^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{5 t^{\frac{4}{5}}}$