Analysis Beispiele

$y = \frac{t}{{(t - 1)}^{2}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ gleich $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ist mit $f (t) = t$ und $g (t) = {(t - 1)}^{2}$ .

$\frac{{(t - 1)}^{2} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{2}]}{{({(t - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 2.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(t - 1)}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(t - 1)}^{2} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{2}]}{{(t - 1)}^{2 \cdot 2}}$

Schritt 2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{{(t - 1)}^{2} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{2}]}{{(t - 1)}^{4}}$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{{(t - 1)}^{2} \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{2}]}{{(t - 1)}^{4}}$

Schritt 2.3

Mutltipliziere ${(t - 1)}^{2}$ mit $1$ .

$\frac{{(t - 1)}^{2} - t \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{2}]}{{(t - 1)}^{4}}$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{2}$ und $g (t) = t - 1$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $t - 1$ .

$\frac{{(t - 1)}^{2} - t (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d t} [t - 1])}{{(t - 1)}^{4}}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{{(t - 1)}^{2} - t (2 u \frac{d}{d t} [t - 1])}{{(t - 1)}^{4}}$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u$ durch $t - 1$ .

$\frac{{(t - 1)}^{2} - t (2 (t - 1) \frac{d}{d t} [t - 1])}{{(t - 1)}^{4}}$

Schritt 4

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{{(t - 1)}^{2} - 2 t ((t - 1) \frac{d}{d t} [t - 1])}{{(t - 1)}^{4}}$

Schritt 4.2

Faktorisiere $t - 1$ aus ${(t - 1)}^{2} - 2 t ((t - 1) \frac{d}{d t} [t - 1])$ heraus.

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $t - 1$ aus ${(t - 1)}^{2}$ heraus.

$\frac{(t - 1) (t - 1) - 2 t ((t - 1) \frac{d}{d t} [t - 1])}{{(t - 1)}^{4}}$

Schritt 4.2.2

Faktorisiere $t - 1$ aus $- 2 t ((t - 1) \frac{d}{d t} [t - 1])$ heraus.

$\frac{(t - 1) (t - 1) + (t - 1) (- 2 t (\frac{d}{d t} [t - 1]))}{{(t - 1)}^{4}}$

Schritt 4.2.3

Faktorisiere $t - 1$ aus $(t - 1) (t - 1) + (t - 1) (- 2 t (\frac{d}{d t} [t - 1]))$ heraus.

$\frac{(t - 1) (t - 1 - 2 t (\frac{d}{d t} [t - 1]))}{{(t - 1)}^{4}}$

Schritt 5

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $t - 1$ aus ${(t - 1)}^{4}$ heraus.

$\frac{(t - 1) (t - 1 - 2 t (\frac{d}{d t} [t - 1]))}{(t - 1) {(t - 1)}^{3}}$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(t - 1) (t - 1 - 2 t (\frac{d}{d t} [t - 1]))}{(t - 1) {(t - 1)}^{3}}$

Schritt 5.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{t - 1 - 2 t (\frac{d}{d t} [t - 1])}{{(t - 1)}^{3}}$

Schritt 6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t - 1$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{t - 1 - 2 t (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1])}{{(t - 1)}^{3}}$

Schritt 7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{t - 1 - 2 t (1 + \frac{d}{d t} [- 1])}{{(t - 1)}^{3}}$

Schritt 8

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$\frac{t - 1 - 2 t (1 + 0)}{{(t - 1)}^{3}}$

Schritt 9

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 9.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{t - 1 - 2 t \cdot 1}{{(t - 1)}^{3}}$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{t - 1 - 2 t}{{(t - 1)}^{3}}$

Schritt 9.3

Subtrahiere $2 t$ von $t$ .

$\frac{- t - 1}{{(t - 1)}^{3}}$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- t$ heraus.

$\frac{- (t) - 1}{{(t - 1)}^{3}}$

Schritt 10.2

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\frac{- (t) - 1 (1)}{{(t - 1)}^{3}}$

Schritt 10.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (t) - 1 (1)$ heraus.

$\frac{- (t + 1)}{{(t - 1)}^{3}}$

Schritt 10.4

Schreibe $- (t + 1)$ als $- 1 (t + 1)$ um.

$\frac{- 1 (t + 1)}{{(t - 1)}^{3}}$

Schritt 10.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{t + 1}{{(t - 1)}^{3}}$