Analysis Beispiele

$y = (t^{3} - 7 t^{2} + 1) e^{t}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ gleich $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ist mit $f (t) = t^{3} - 7 t^{2} + 1$ und $g (t) = e^{t}$ .

$(t^{3} - 7 t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [e^{t}] + e^{t} \frac{d}{d t} [t^{3} - 7 t^{2} + 1]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ gleich $a^{t} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$(t^{3} - 7 t^{2} + 1) e^{t} + e^{t} \frac{d}{d t} [t^{3} - 7 t^{2} + 1]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t^{3} - 7 t^{2} + 1$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 7 t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$(t^{3} - 7 t^{2} + 1) e^{t} + e^{t} (\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 7 t^{2}] + \frac{d}{d t} [1])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$(t^{3} - 7 t^{2} + 1) e^{t} + e^{t} (3 t^{2} + \frac{d}{d t} [- 7 t^{2}] + \frac{d}{d t} [1])$

Schritt 3.3

Da $- 7$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 7 t^{2}$ nach $t$ gleich $- 7 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$(t^{3} - 7 t^{2} + 1) e^{t} + e^{t} (3 t^{2} - 7 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1])$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$(t^{3} - 7 t^{2} + 1) e^{t} + e^{t} (3 t^{2} - 7 (2 t) + \frac{d}{d t} [1])$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 7$ .

$(t^{3} - 7 t^{2} + 1) e^{t} + e^{t} (3 t^{2} - 14 t + \frac{d}{d t} [1])$

Schritt 3.6

Da $1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$(t^{3} - 7 t^{2} + 1) e^{t} + e^{t} (3 t^{2} - 14 t + 0)$

Schritt 3.7

Addiere $3 t^{2} - 14 t$ und $0$ .

$(t^{3} - 7 t^{2} + 1) e^{t} + e^{t} (3 t^{2} - 14 t)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$t^{3} e^{t} - 7 t^{2} e^{t} + 1 e^{t} + e^{t} (3 t^{2} - 14 t)$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$t^{3} e^{t} - 7 t^{2} e^{t} + 1 e^{t} + e^{t} (3 t^{2}) + e^{t} (- 14 t)$

Schritt 4.3

Vereine die Terme

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $e^{t}$ mit $1$ .

$t^{3} e^{t} - 7 t^{2} e^{t} + e^{t} + e^{t} (3 t^{2}) + e^{t} (- 14 t)$

Schritt 4.3.2

Addiere $- 7 t^{2} e^{t}$ und $e^{t} (3 t^{2})$ .

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Schritt 4.3.2.1

Bewege $e^{t}$ .

$t^{3} e^{t} - 7 t^{2} e^{t} + 3 t^{2} e^{t} + e^{t} + e^{t} (- 14 t)$

Schritt 4.3.2.2

Addiere $- 7 t^{2} e^{t}$ und $3 t^{2} e^{t}$ .

$t^{3} e^{t} - 4 t^{2} e^{t} + e^{t} + e^{t} (- 14 t)$

Schritt 4.4

Stelle die Terme um.

$e^{t} t^{3} - 4 e^{t} t^{2} - 14 e^{t} t + e^{t}$

Schritt 4.5

Stelle die Faktoren in $e^{t} t^{3} - 4 e^{t} t^{2} - 14 e^{t} t + e^{t}$ um.

$t^{3} e^{t} - 4 t^{2} e^{t} - 14 t e^{t} + e^{t}$