Analysis Beispiele

$(x^{3} + 1) (3 x^{2} - 4 x + 2)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{3} + 1$ und $g (x) = 3 x^{2} - 4 x + 2$ .

$(x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 4 x + 2] + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{2} - 4 x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$(x^{3} + 1) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Schritt 2.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(x^{3} + 1) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$(x^{3} + 1) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$(x^{3} + 1) (6 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Schritt 2.5

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{3} + 1) (6 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(x^{3} + 1) (6 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Schritt 2.7

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$(x^{3} + 1) (6 x - 4 + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Schritt 2.8

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(x^{3} + 1) (6 x - 4 + 0) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Schritt 2.9

Addiere $6 x - 4$ und $0$ .

$(x^{3} + 1) (6 x - 4) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Schritt 2.10

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(x^{3} + 1) (6 x - 4) + (3 x^{2} - 4 x + 2) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$(x^{3} + 1) (6 x - 4) + (3 x^{2} - 4 x + 2) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.12

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(x^{3} + 1) (6 x - 4) + (3 x^{2} - 4 x + 2) (3 x^{2} + 0)$

Schritt 2.13

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.13.1

Addiere $3 x^{2}$ und $0$ .

$(x^{3} + 1) (6 x - 4) + (3 x^{2} - 4 x + 2) (3 x^{2})$

Schritt 2.13.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $3 x^{2} - 4 x + 2$ .

$(x^{3} + 1) (6 x - 4) + 3 \cdot (3 x^{2} - 4 x + 2) x^{2}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(x^{3} + 1) (6 x - 4) + (3 (3 x^{2}) + 3 (- 4 x) + 3 \cdot 2) x^{2}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(x^{3} + 1) (6 x - 4) + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Schritt 3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(x^{3} + 1) (6 x) + (x^{3} + 1) \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Schritt 3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{3} (6 x) + 1 (6 x) + (x^{3} + 1) \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Schritt 3.5

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{3} (6 x) + 1 (6 x) + x^{3} \cdot - 4 + 1 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Schritt 3.6

Vereine die Terme

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Schritt 3.6.1

Multipliziere $x^{3}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.6.1.1

Bewege $x$ .

$x \cdot x^{3} \cdot 6 + 1 (6 x) + x^{3} \cdot - 4 + 1 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Schritt 3.6.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{3}$ .

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Schritt 3.6.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{1} x^{3} \cdot 6 + 1 (6 x) + x^{3} \cdot - 4 + 1 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Schritt 3.6.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{1 + 3} \cdot 6 + 1 (6 x) + x^{3} \cdot - 4 + 1 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Schritt 3.6.1.3

Addiere $1$ und $3$ .

$x^{4} \cdot 6 + 1 (6 x) + x^{3} \cdot - 4 + 1 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Schritt 3.6.2

Bringe $6$ auf die linke Seite von $x^{4}$ .

$6 \cdot x^{4} + 1 (6 x) + x^{3} \cdot - 4 + 1 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Schritt 3.6.3

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$6 x^{4} + 6 x + x^{3} \cdot - 4 + 1 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Schritt 3.6.4

Bringe $- 4$ auf die linke Seite von $x^{3}$ .

$6 x^{4} + 6 x - 4 \cdot x^{3} + 1 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Schritt 3.6.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$6 x^{4} + 6 x - 4 x^{3} - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Schritt 3.6.6

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$6 x^{4} + 6 x - 4 x^{3} - 4 + 9 x^{2} x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Schritt 3.6.7

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.6.7.1

Bewege $x^{2}$ .

$6 x^{4} + 6 x - 4 x^{3} - 4 + 9 (x^{2} x^{2}) + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Schritt 3.6.7.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$6 x^{4} + 6 x - 4 x^{3} - 4 + 9 x^{2 + 2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Schritt 3.6.7.3

Addiere $2$ und $2$ .

$6 x^{4} + 6 x - 4 x^{3} - 4 + 9 x^{4} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Schritt 3.6.8

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$6 x^{4} + 6 x - 4 x^{3} - 4 + 9 x^{4} - 12 x \cdot x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Schritt 3.6.9

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.6.9.1

Bewege $x^{2}$ .

$6 x^{4} + 6 x - 4 x^{3} - 4 + 9 x^{4} - 12 (x^{2} x) + 3 \cdot 2 x^{2}$

Schritt 3.6.9.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 3.6.9.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$6 x^{4} + 6 x - 4 x^{3} - 4 + 9 x^{4} - 12 (x^{2} x^{1}) + 3 \cdot 2 x^{2}$

Schritt 3.6.9.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$6 x^{4} + 6 x - 4 x^{3} - 4 + 9 x^{4} - 12 x^{2 + 1} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Schritt 3.6.9.3

Addiere $2$ und $1$ .

$6 x^{4} + 6 x - 4 x^{3} - 4 + 9 x^{4} - 12 x^{3} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Schritt 3.6.10

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$6 x^{4} + 6 x - 4 x^{3} - 4 + 9 x^{4} - 12 x^{3} + 6 x^{2}$

Schritt 3.6.11

Addiere $6 x^{4}$ und $9 x^{4}$ .

$15 x^{4} + 6 x - 4 x^{3} - 4 - 12 x^{3} + 6 x^{2}$

Schritt 3.6.12

Subtrahiere $12 x^{3}$ von $- 4 x^{3}$ .

$15 x^{4} + 6 x - 16 x^{3} - 4 + 6 x^{2}$

Schritt 3.7

Stelle die Terme um.

$15 x^{4} - 16 x^{3} + 6 x^{2} + 6 x - 4$