Analysis Beispiele

$\cos (\arcsin (\frac{x}{3}))$

Schritt 1

Formuliere den Ausdruck mithilfe von Exponenten.

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Schritt 1.1

Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}}, \frac{x}{3})$ , $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}}, 0)$ und dem Ursprung. Dann ist $\arcsin (\frac{x}{3})$ der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}}, \frac{x}{3})$ verläuft. Folglich ist $\cos (\arcsin (\frac{x}{3}))$ $\sqrt{1 - {(\frac{x}{3})}^{2}}$ .

$\sqrt{1 - {(\frac{x}{3})}^{2}}$

Schritt 1.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}}$

Schritt 2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = \frac{x}{3}$ .

$\sqrt{(1 + \frac{x}{3}) (1 - \frac{x}{3})}$

Schritt 3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{(\frac{3}{3} + \frac{x}{3}) (1 - \frac{x}{3})}$

Schritt 3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{3 + x}{3} (1 - \frac{x}{3})}$

Schritt 3.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{3 + x}{3} (\frac{3}{3} - \frac{x}{3})}$

Schritt 3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{3 + x}{3} \cdot \frac{3 - x}{3}}$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $\frac{3 + x}{3}$ mit $\frac{3 - x}{3}$ .

$\sqrt{\frac{(3 + x) (3 - x)}{3 \cdot 3}}$

Schritt 3.6

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\sqrt{\frac{(3 + x) (3 - x)}{9}}$

Schritt 4

Schreibe $\frac{(3 + x) (3 - x)}{9}$ als ${(\frac{1}{3})}^{2} ((3 + x) (3 - x))$ um.

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Schritt 4.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $(3 + x) (3 - x)$ heraus.

$\sqrt{\frac{1^{2} ((3 + x) (3 - x))}{9}}$

Schritt 4.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $3^{2}$ aus $9$ heraus.

$\sqrt{\frac{1^{2} ((3 + x) (3 - x))}{3^{2} \cdot 1}}$

Schritt 4.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} ((3 + x) (3 - x))}{3^{2} \cdot 1}$ um.

$\sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} ((3 + x) (3 - x))}$

Schritt 5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{1}{3} \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$

Schritt 6

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $\sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ .

$\frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$