Analysis Beispiele

$N = 48 (1 - e^{- 0.07 t})$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $48 (1 - e^{- 0.07 t}) = N$ um.

$48 (1 - e^{- 0.07 t}) = N$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $48 (1 - e^{- 0.07 t}) = N$ durch $48$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $48 (1 - e^{- 0.07 t}) = N$ durch $48$ .

$\frac{48 (1 - e^{- 0.07 t})}{48} = \frac{N}{48}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $48$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{48 (1 - e^{- 0.07 t})}{48} = \frac{N}{48}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $1 - e^{- 0.07 t}$ durch $1$ .

$1 - e^{- 0.07 t} = \frac{N}{48}$

Schritt 3

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- e^{- 0.07 t} = \frac{N}{48} - 1$

Schritt 4

Teile jeden Ausdruck in $- e^{- 0.07 t} = \frac{N}{48} - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 4.1

Teile jeden Ausdruck in $- e^{- 0.07 t} = \frac{N}{48} - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- e^{- 0.07 t}}{- 1} = \frac{\frac{N}{48}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{e^{- 0.07 t}}{1} = \frac{\frac{N}{48}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 4.2.2

Dividiere $e^{- 0.07 t}$ durch $1$ .

$e^{- 0.07 t} = \frac{\frac{N}{48}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\frac{N}{48}}{- 1}$ .

$e^{- 0.07 t} = - 1 \cdot \frac{N}{48} + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 4.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot \frac{N}{48}$ als $- \frac{N}{48}$ um.

$e^{- 0.07 t} = - \frac{N}{48} + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 4.3.1.3

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$e^{- 0.07 t} = - \frac{N}{48} + 1$

Schritt 5

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{- 0.07 t}) = \ln (- \frac{N}{48} + 1)$

Schritt 6

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 6.1

Zerlege $\ln (e^{- 0.07 t})$ durch Herausziehen von $- 0.07 t$ aus dem Logarithmus.

$- 0.07 t \ln (e) = \ln (- \frac{N}{48} + 1)$

Schritt 6.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$- 0.07 t \cdot 1 = \ln (- \frac{N}{48} + 1)$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $- 0.07$ mit $1$ .

$- 0.07 t = \ln (- \frac{N}{48} + 1)$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $- 0.07 t = \ln (- \frac{N}{48} + 1)$ durch $- 0.07$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $- 0.07 t = \ln (- \frac{N}{48} + 1)$ durch $- 0.07$ .

$\frac{- 0.07 t}{- 0.07} = \frac{\ln (- \frac{N}{48} + 1)}{- 0.07}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 0.07$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 0.07 t}{- 0.07} = \frac{\ln (- \frac{N}{48} + 1)}{- 0.07}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $t$ durch $1$ .

$t = \frac{\ln (- \frac{N}{48} + 1)}{- 0.07}$

Schritt 7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$t = - \frac{\ln (- \frac{N}{48} + 1)}{0.07}$

Schritt 7.3.2

Multipliziere mit $1$ .

$t = - \frac{1 \ln (- \frac{N}{48} + 1)}{0.07}$

Schritt 7.3.3

Faktorisiere $0.07$ aus $0.07$ heraus.

$t = - \frac{1 \ln (- \frac{N}{48} + 1)}{0.07 (1)}$

Schritt 7.3.4

Separiere Brüche.

$t = - (\frac{1}{0.07} \cdot \frac{\ln (- \frac{N}{48} + 1)}{1})$

Schritt 7.3.5

Dividiere $1$ durch $0.07$ .

$t = - (14.\overline{285714} \frac{\ln (- \frac{N}{48} + 1)}{1})$

Schritt 7.3.6

Dividiere $\ln (- \frac{N}{48} + 1)$ durch $1$ .

$t = - (14.\overline{285714} \ln (- \frac{N}{48} + 1))$

Schritt 7.3.7

Mutltipliziere $14.\overline{285714}$ mit $- 1$ .

$t = - 14.\overline{285714} \ln (- \frac{N}{48} + 1)$