Analysis Beispiele

x 구하기 4cos(x)^2-9cos(x)+2=0
Schritt 1
Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.
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Schritt 1.1
Es sei . Ersetze für alle .
Schritt 1.2
Faktorisiere durch Gruppieren.
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Schritt 1.2.1
Für ein Polynom der Form schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich und deren Summe gleich ist.
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Schritt 1.2.1.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.2.1.2
Schreibe um als plus
Schritt 1.2.1.3
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 1.2.2
Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.
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Schritt 1.2.2.1
Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.
Schritt 1.2.2.2
Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.
Schritt 1.2.3
Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, .
Schritt 1.3
Ersetze alle durch .
Schritt 2
Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich .
Schritt 3
Setze gleich und löse nach auf.
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Schritt 3.1
Setze gleich .
Schritt 3.2
Löse nach auf.
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Schritt 3.2.1
Addiere zu beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 3.2.2
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
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Schritt 3.2.2.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 3.2.2.2
Vereinfache die linke Seite.
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Schritt 3.2.2.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 3.2.2.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 3.2.2.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 3.2.3
Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um aus dem Kosinus herauszuziehen.
Schritt 3.2.4
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 3.2.4.1
Berechne .
Schritt 3.2.5
Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.
Schritt 3.2.6
Löse nach auf.
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Schritt 3.2.6.1
Entferne die Klammern.
Schritt 3.2.6.2
Vereinfache .
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Schritt 3.2.6.2.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.2.6.2.2
Subtrahiere von .
Schritt 3.2.7
Ermittele die Periode von .
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Schritt 3.2.7.1
Die Periode der Funktion kann mithilfe von berechnet werden.
Schritt 3.2.7.2
Ersetze durch in der Formel für die Periode.
Schritt 3.2.7.3
Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen und ist .
Schritt 3.2.7.4
Dividiere durch .
Schritt 3.2.8
Die Periode der Funktion ist , d. h., Werte werden sich alle rad in beide Richtungen wiederholen.
, für jede ganze Zahl
, für jede ganze Zahl
, für jede ganze Zahl
Schritt 4
Setze gleich und löse nach auf.
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Schritt 4.1
Setze gleich .
Schritt 4.2
Löse nach auf.
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Schritt 4.2.1
Addiere zu beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 4.2.2
Der Wertebereich des Cosinus ist . Da nicht in diesen Bereich fällt, gibt es keine Lösung.
Keine Lösung
Keine Lösung
Keine Lösung
Schritt 5
Die endgültige Lösung sind alle Werte, die wahr machen.
, für jede ganze Zahl