Analysis Beispiele

$- 8 \cos (8 x) = 0$

Schritt 1

Teile jeden Ausdruck in $- 8 \cos (8 x) = 0$ durch $- 8$ und vereinfache.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $- 8 \cos (8 x) = 0$ durch $- 8$ .

$\frac{- 8 \cos (8 x)}{- 8} = \frac{0}{- 8}$

Schritt 1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 8$ .

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Schritt 1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 8 \cos (8 x)}{- 8} = \frac{0}{- 8}$

Schritt 1.2.1.2

Dividiere $\cos (8 x)$ durch $1$ .

$\cos (8 x) = \frac{0}{- 8}$

Schritt 1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.1

Dividiere $0$ durch $- 8$ .

$\cos (8 x) = 0$

Schritt 2

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$8 x = \arccos (0)$

Schritt 3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1

Der genau Wert von $\arccos (0)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$8 x = \frac{π}{2}$

Schritt 4

Teile jeden Ausdruck in $8 x = \frac{π}{2}$ durch $8$ und vereinfache.

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Schritt 4.1

Teile jeden Ausdruck in $8 x = \frac{π}{2}$ durch $8$ .

$\frac{8 x}{8} = \frac{\frac{π}{2}}{8}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 x}{8} = \frac{\frac{π}{2}}{8}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{8}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{8}$

Schritt 4.3.2

Multipliziere $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{8}$ .

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Schritt 4.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{π}{2}$ mit $\frac{1}{8}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 8}$

Schritt 4.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$x = \frac{π}{16}$

Schritt 5

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$8 x = 2 π - \frac{π}{2}$

Schritt 6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Vereinfache.

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Schritt 6.1.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$8 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 6.1.2

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$8 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 6.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$8 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 6.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$8 x = \frac{4 π - π}{2}$

Schritt 6.1.5

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$8 x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 6.2

Teile jeden Ausdruck in $8 x = \frac{3 π}{2}$ durch $8$ und vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Teile jeden Ausdruck in $8 x = \frac{3 π}{2}$ durch $8$ .

$\frac{8 x}{8} = \frac{\frac{3 π}{2}}{8}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 6.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 x}{8} = \frac{\frac{3 π}{2}}{8}$

Schritt 6.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{8}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{8}$

Schritt 6.2.3.2

Multipliziere $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{8}$ .

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Schritt 6.2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{3 π}{2}$ mit $\frac{1}{8}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 8}$

Schritt 6.2.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$x = \frac{3 π}{16}$

Schritt 7

Ermittele die Periode von $\cos (8 x)$ .

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Schritt 7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 7.2

Ersetze $b$ durch $8$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 8 |}$

Schritt 7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $8$ ist $8$ .

$\frac{2 π}{8}$

Schritt 7.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $8$ .

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Schritt 7.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 π$ heraus.

$\frac{2 (π)}{8}$

Schritt 7.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$\frac{2 π}{2 \cdot 4}$

Schritt 7.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{2 \cdot 4}$

Schritt 7.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{π}{4}$

Schritt 8

Die Periode der Funktion $\cos (8 x)$ ist $\frac{π}{4}$ , d. h., Werte werden sich alle $\frac{π}{4}$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{16} + \frac{π n}{4}, \frac{3 π}{16} + \frac{π n}{4}$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 9

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π}{16} + \frac{π n}{8}$ , für jede ganze Zahl $n$