Analysis Beispiele

$\frac{5^{x^{2}}}{125} = 25^{x}$

Schritt 1

Potenziere $125$ mit $1$ .

$\frac{5^{x^{2}}}{125^{1}} = 25^{x}$

Schritt 2

Bringe $125^{1}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$5^{x^{2}} \cdot 125^{- 1} = 25^{x}$

Schritt 3

Schreibe $125$ als $5^{3}$ um.

$5^{x^{2}} \cdot {(5^{3})}^{- 1} = 25^{x}$

Schritt 4

Multipliziere die Exponenten in ${(5^{3})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5^{x^{2}} \cdot 5^{3 \cdot - 1} = 25^{x}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$5^{x^{2}} \cdot 5^{- 3} = 25^{x}$

Schritt 5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$5^{x^{2} - 3} = 25^{x}$

Schritt 6

Erzeuge äquivalente Ausdrücke in der Gleichung, die alle gleiche Basen haben.

$5^{x^{2} - 3} = 5^{2 x}$

Schritt 7

Da die Basen gleich sind, sind zwei Ausdrücke nur dann gleich, wenn die Exponenten auch gleich sind.

$x^{2} - 3 = 2 x$

Schritt 8

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 3 - 2 x = 0$

Schritt 8.2

Faktorisiere $x^{2} - 3 - 2 x$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 8.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 3$ und deren Summe $- 2$ ist.

$- 3, 1$

Schritt 8.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 3) (x + 1) = 0$

Schritt 8.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

Schritt 8.4

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.4.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 8.4.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 8.5

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.5.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 8.5.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 8.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 3) (x + 1) = 0$ wahr machen.

$x = 3, - 1$