Analysis Beispiele

$\ln (x - 7) + \ln (x + 8) = 1$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((x - 7) (x + 8)) = 1$

Schritt 1.2

Multipliziere $(x - 7) (x + 8)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (x (x + 8) - 7 (x + 8)) = 1$

Schritt 1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (x \cdot x + x \cdot 8 - 7 (x + 8)) = 1$

Schritt 1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (x \cdot x + x \cdot 8 - 7 x - 7 \cdot 8) = 1$

Schritt 1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\ln (x^{2} + x \cdot 8 - 7 x - 7 \cdot 8) = 1$

Schritt 1.3.1.2

Bringe $8$ auf die linke Seite von $x$ .

$\ln (x^{2} + 8 \cdot x - 7 x - 7 \cdot 8) = 1$

Schritt 1.3.1.3

Mutltipliziere $- 7$ mit $8$ .

$\ln (x^{2} + 8 x - 7 x - 56) = 1$

Schritt 1.3.2

Subtrahiere $7 x$ von $8 x$ .

$\ln (x^{2} + x - 56) = 1$

Schritt 2

Um nach $x$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (x^{2} + x - 56)} = e^{1}$

Schritt 3

Schreibe $\ln (x^{2} + x - 56) = 1$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{1} = x^{2} + x - 56$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $x^{2} + x - 56 = e^{1}$ um.

$x^{2} + x - 56 = e$

Schritt 4.2

Subtrahiere $e$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + x - 56 - e = 0$

Schritt 4.3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4.4

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 1$ und $c = - 56 - e$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- 56 - e))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5

Vereinfache.

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Schritt 4.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.5.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 56 - e)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- 56 - e)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 56 - 4 (- e)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 56$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 224 - 4 (- e)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 224 + 4 e}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.6

Addiere $1$ und $224$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{225 + 4 e}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{225 + 4 e}}{2}$

Schritt 4.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{1 - \sqrt{225 + 4 e}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{225 + 4 e}}{2}$

Schritt 5

Schließe die Lösungen aus, die $\ln (x - 7) + \ln (x + 8) = 1$ nicht erfüllen.

$x = - \frac{1 - \sqrt{225 + 4 e}}{2}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - \frac{1 - \sqrt{225 + 4 e}}{2}$

Dezimalform:

$x = 7.17908079 \dots$