Analysis Beispiele

$12 x^{2} - 168 x + 405 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere $3$ aus $12 x^{2} - 168 x + 405$ heraus.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $3$ aus $12 x^{2}$ heraus.

$3 (4 x^{2}) - 168 x + 405 = 0$

Schritt 1.2

Faktorisiere $3$ aus $- 168 x$ heraus.

$3 (4 x^{2}) + 3 (- 56 x) + 405 = 0$

Schritt 1.3

Faktorisiere $3$ aus $405$ heraus.

$3 (4 x^{2}) + 3 (- 56 x) + 3 (135) = 0$

Schritt 1.4

Faktorisiere $3$ aus $3 (4 x^{2}) + 3 (- 56 x)$ heraus.

$3 (4 x^{2} - 56 x) + 3 (135) = 0$

Schritt 1.5

Faktorisiere $3$ aus $3 (4 x^{2} - 56 x) + 3 (135)$ heraus.

$3 (4 x^{2} - 56 x + 135) = 0$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $3 (4 x^{2} - 56 x + 135) = 0$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 (4 x^{2} - 56 x + 135) = 0$ durch $3$ .

$\frac{3 (4 x^{2} - 56 x + 135)}{3} = \frac{0}{3}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (4 x^{2} - 56 x + 135)}{3} = \frac{0}{3}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $4 x^{2} - 56 x + 135$ durch $1$ .

$4 x^{2} - 56 x + 135 = \frac{0}{3}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Dividiere $0$ durch $3$ .

$4 x^{2} - 56 x + 135 = 0$

Schritt 3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4

Setze die Werte $a = 4$ , $b = - 56$ und $c = 135$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{56 \pm \sqrt{{(- 56)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 135)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Potenziere $- 56$ mit $2$ .

$x = \frac{56 \pm \sqrt{3136 - 4 \cdot 4 \cdot 135}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 4 \cdot 135$ .

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Schritt 5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$x = \frac{56 \pm \sqrt{3136 - 16 \cdot 135}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.1.2.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $135$ .

$x = \frac{56 \pm \sqrt{3136 - 2160}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.1.3

Subtrahiere $2160$ von $3136$ .

$x = \frac{56 \pm \sqrt{976}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.1.4

Schreibe $976$ als $4^{2} \cdot 61$ um.

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Schritt 5.1.4.1

Faktorisiere $16$ aus $976$ heraus.

$x = \frac{56 \pm \sqrt{16 (61)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.1.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{56 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 61}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{56 \pm 4 \sqrt{61}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$x = \frac{56 \pm 4 \sqrt{61}}{8}$

Schritt 5.3

Vereinfache $\frac{56 \pm 4 \sqrt{61}}{8}$ .

$x = \frac{14 \pm \sqrt{61}}{2}$

Schritt 6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{14 + \sqrt{61}}{2}, \frac{14 - \sqrt{61}}{2}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{14 + \sqrt{61}}{2}, \frac{14 - \sqrt{61}}{2}$

Dezimalform:

$x = 10.90512483 \dots, 3.09487516 \dots$