Analysis Beispiele

$4 x^{3} - 4 = 0$

Schritt 1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{3} = 4$

Schritt 2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{3} - 4 = 0$

Schritt 3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{3} - 4$ heraus.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$4 (x^{3}) - 4 = 0$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$4 (x^{3}) + 4 (- 1) = 0$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (x^{3}) + 4 (- 1)$ heraus.

$4 (x^{3} - 1) = 0$

Schritt 3.2

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$4 (x^{3} - 1^{3}) = 0$

Schritt 3.3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$4 ((x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})) = 0$

Schritt 3.4

Faktorisiere.

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Schritt 3.4.1

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$4 ((x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})) = 0$

Schritt 3.4.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$4 ((x - 1) (x^{2} + x + 1)) = 0$

Schritt 3.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$4 (x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0$

Schritt 4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

$x^{2} + x + 1 = 0$

Schritt 5

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 5.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 6

Setze $x^{2} + x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $x^{2} + x + 1$ gleich $0$ .

$x^{2} + x + 1 = 0$

Schritt 6.2

Löse $x^{2} + x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 6.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 1$ und $c = 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache.

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Schritt 6.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.3.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Schritt 6.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.3

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.4

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (3)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 6.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $4 (x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0$ wahr machen.

$x = 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$