Analysis Beispiele

$4 \cdot 8^{x} = 3.5 e^{1 x}$

Schritt 1

Multipliziere $4 \cdot 8^{x}$ .

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Schritt 1.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$2^{2} \cdot 8^{x} = 3.5 e^{1 x}$

Schritt 1.2

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$2^{2} \cdot {(2^{3})}^{x} = 3.5 e^{1 x}$

Schritt 1.3

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{2} \cdot 2^{3 x} = 3.5 e^{1 x}$

Schritt 1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2^{2 + 3 x} = 3.5 e^{1 x}$

Schritt 2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$2^{2 + 3 x} = 3.5 e^{x}$

Schritt 3

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (2^{2 + 3 x}) = \ln (3.5 e^{x})$

Schritt 4

Zerlege $\ln (2^{2 + 3 x})$ durch Herausziehen von $2 + 3 x$ aus dem Logarithmus.

$(2 + 3 x) \ln (2) = \ln (3.5 e^{x})$

Schritt 5

Multipliziere die rechte Seite aus.

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Schritt 5.1

Schreibe $\ln (3.5 e^{x})$ als $\ln (3.5) + \ln (e^{x})$ um.

$(2 + 3 x) \ln (2) = \ln (3.5) + \ln (e^{x})$

Schritt 5.2

Zerlege $\ln (e^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$(2 + 3 x) \ln (2) = \ln (3.5) + x \ln (e)$

Schritt 5.3

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$(2 + 3 x) \ln (2) = \ln (3.5) + x \cdot 1$

Schritt 5.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$(2 + 3 x) \ln (2) = \ln (3.5) + x$

Schritt 6

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \ln (2) + 3 x \ln (2) = \ln (3.5) + x$

Schritt 7

Stelle $2 \ln (2)$ und $3 x \ln (2)$ um.

$3 x \ln (2) + 2 \ln (2) = \ln (3.5) + x$

Schritt 8

Stelle $\ln (3.5)$ und $x$ um.

$3 x \ln (2) + 2 \ln (2) = x + \ln (3.5)$

Schritt 9

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$3 x \ln (2) + 2 \ln (2) - \ln (3.5) = x$

Schritt 10

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x \ln (2) + 2 \ln (2) - \ln (3.5) - x = 0$

Schritt 11

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 11.1

Subtrahiere $2 \ln (2)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x \ln (2) - \ln (3.5) - x = - 2 \ln (2)$

Schritt 11.2

Addiere $\ln (3.5)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x \ln (2) - x = - 2 \ln (2) + \ln (3.5)$

Schritt 12

Faktorisiere $x$ aus $3 x \ln (2) - x$ heraus.

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Schritt 12.1

Faktorisiere $x$ aus $3 x \ln (2)$ heraus.

$x (3 \ln (2)) - x = - 2 \ln (2) + \ln (3.5)$

Schritt 12.2

Faktorisiere $x$ aus $- x$ heraus.

$x (3 \ln (2)) + x \cdot - 1 = - 2 \ln (2) + \ln (3.5)$

Schritt 12.3

Faktorisiere $x$ aus $x (3 \ln (2)) + x \cdot - 1$ heraus.

$x (3 \ln (2) - 1) = - 2 \ln (2) + \ln (3.5)$

Schritt 13

Teile jeden Ausdruck in $x (3 \ln (2) - 1) = - 2 \ln (2) + \ln (3.5)$ durch $3 \ln (2) - 1$ und vereinfache.

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Schritt 13.1

Teile jeden Ausdruck in $x (3 \ln (2) - 1) = - 2 \ln (2) + \ln (3.5)$ durch $3 \ln (2) - 1$ .

$\frac{x (3 \ln (2) - 1)}{3 \ln (2) - 1} = \frac{- 2 \ln (2)}{3 \ln (2) - 1} + \frac{\ln (3.5)}{3 \ln (2) - 1}$

Schritt 13.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 13.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 \ln (2) - 1$ .

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Schritt 13.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (3 \ln (2) - 1)}{3 \ln (2) - 1} = \frac{- 2 \ln (2)}{3 \ln (2) - 1} + \frac{\ln (3.5)}{3 \ln (2) - 1}$

Schritt 13.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 2 \ln (2)}{3 \ln (2) - 1} + \frac{\ln (3.5)}{3 \ln (2) - 1}$

Schritt 13.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 13.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{2 \ln (2)}{3 \ln (2) - 1} + \frac{\ln (3.5)}{3 \ln (2) - 1}$

Schritt 13.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{- 2 \ln (2) + \ln (3.5)}{3 \ln (2) - 1}$

Schritt 13.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 \ln (2)$ heraus.

$x = \frac{- (2 \ln (2)) + \ln (3.5)}{3 \ln (2) - 1}$

Schritt 13.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $\ln (3.5)$ heraus.

$x = \frac{- (2 \ln (2)) - 1 (- \ln (3.5))}{3 \ln (2) - 1}$

Schritt 13.3.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 \ln (2)) - 1 (- \ln (3.5))$ heraus.

$x = \frac{- (2 \ln (2) - \ln (3.5))}{3 \ln (2) - 1}$

Schritt 13.3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 13.3.6.1

Schreibe $- (2 \ln (2) - \ln (3.5))$ als $- 1 (2 \ln (2) - \ln (3.5))$ um.

$x = \frac{- 1 (2 \ln (2) - \ln (3.5))}{3 \ln (2) - 1}$

Schritt 13.3.6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{2 \ln (2) - \ln (3.5)}{3 \ln (2) - 1}$

Schritt 14

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - \frac{2 \ln (2) - \ln (3.5)}{3 \ln (2) - 1}$

Dezimalform:

$x = - 0.12370414 \dots$