Analysis Beispiele

$2 x - 2 x^{- 2} = 0$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 x - 2 \frac{1}{x^{2}} = 0$

Schritt 1.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$2 x + \frac{- 2}{x^{2}} = 0$

Schritt 1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 x - \frac{2}{x^{2}} = 0$

Schritt 2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, x^{2}, 1$

Schritt 2.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x^{2}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Term in $2 x - \frac{2}{x^{2}} = 0$ mit $x^{2}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Term in $2 x - \frac{2}{x^{2}} = 0$ mit $x^{2}$ .

$2 x \cdot x^{2} - \frac{2}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.1.1.1

Bewege $x^{2}$ .

$2 (x^{2} x) - \frac{2}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 (x^{2} x^{1}) - \frac{2}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 x^{2 + 1} - \frac{2}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Schritt 3.2.1.1.3

Addiere $2$ und $1$ .

$2 x^{3} - \frac{2}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2}{x^{2}}$ in den Zähler.

$2 x^{3} + \frac{- 2}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Schritt 3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 x^{3} + \frac{- 2}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Schritt 3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2 x^{3} - 2 = 0 x^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $x^{2}$ .

$2 x^{3} - 2 = 0$

Schritt 4

Löse die Gleichung.

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Schritt 4.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{3} = 2$

Schritt 4.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{3} - 2 = 0$

Schritt 4.3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{3} - 2$ heraus.

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Schritt 4.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{3}$ heraus.

$2 (x^{3}) - 2 = 0$

Schritt 4.3.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$2 (x^{3}) + 2 (- 1) = 0$

Schritt 4.3.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (x^{3}) + 2 (- 1)$ heraus.

$2 (x^{3} - 1) = 0$

Schritt 4.3.2

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$2 (x^{3} - 1^{3}) = 0$

Schritt 4.3.3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$2 ((x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})) = 0$

Schritt 4.3.4

Faktorisiere.

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Schritt 4.3.4.1

Vereinfache.

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Schritt 4.3.4.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$2 ((x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})) = 0$

Schritt 4.3.4.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$2 ((x - 1) (x^{2} + x + 1)) = 0$

Schritt 4.3.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$2 (x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0$

Schritt 4.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

$x^{2} + x + 1 = 0$

Schritt 4.5

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.5.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 4.5.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 4.6

Setze $x^{2} + x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.6.1

Setze $x^{2} + x + 1$ gleich $0$ .

$x^{2} + x + 1 = 0$

Schritt 4.6.2

Löse $x^{2} + x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.6.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4.6.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 1$ und $c = 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.6.2.3

Vereinfache.

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Schritt 4.6.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.6.2.3.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.6.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Schritt 4.6.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.6.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.6.2.3.1.3

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.6.2.3.1.4

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.6.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (3)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.6.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.6.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.6.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 (x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0$ wahr machen.

$x = 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$