Analysis Beispiele

${(\frac{1}{25})}^{1 - 3 x^{2}} = 3^{4 x}$

Schritt 1

Logarithmiere beide Seiten der Gleichung.

$\ln ({(\frac{1}{25})}^{1 - 3 x^{2}}) = \ln (3^{4 x})$

Schritt 2

Zerlege $\ln ({(\frac{1}{25})}^{1 - 3 x^{2}})$ durch Herausziehen von $1 - 3 x^{2}$ aus dem Logarithmus.

$(1 - 3 x^{2}) \ln (\frac{1}{25}) = \ln (3^{4 x})$

Schritt 3

Schreibe $\ln (\frac{1}{25})$ als $\ln (1) - \ln (25)$ um.

$(1 - 3 x^{2}) (\ln (1) - \ln (25)) = \ln (3^{4 x})$

Schritt 4

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$(1 - 3 x^{2}) (0 - \ln (25)) = \ln (3^{4 x})$

Schritt 5

Schreibe $\ln (25)$ als $\ln (5^{2})$ um.

$(1 - 3 x^{2}) (0 - \ln (5^{2})) = \ln (3^{4 x})$

Schritt 6

Zerlege $\ln (5^{2})$ durch Herausziehen von $2$ aus dem Logarithmus.

$(1 - 3 x^{2}) (0 - (2 \ln (5))) = \ln (3^{4 x})$

Schritt 7

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$(1 - 3 x^{2}) (0 - 2 \ln (5)) = \ln (3^{4 x})$

Schritt 8

Subtrahiere $2 \ln (5)$ von $0$ .

$(1 - 3 x^{2}) (- 2 \ln (5)) = \ln (3^{4 x})$

Schritt 9

Zerlege $\ln (3^{4 x})$ durch Herausziehen von $4 x$ aus dem Logarithmus.

$(1 - 3 x^{2}) (- 2 \ln (5)) = 4 x \ln (3)$

Schritt 10

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 10.1

Vereinfache $(1 - 3 x^{2}) (- 2 \ln (5))$ .

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Schritt 10.1.1

Forme um.

$0 + 0 + (1 - 3 x^{2}) (- 2 \ln (5)) = 4 x \ln (3)$

Schritt 10.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$(1 - 3 x^{2}) (- 2 \ln (5)) = 4 x \ln (3)$

Schritt 10.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$1 (- 2 \ln (5)) - 3 x^{2} (- 2 \ln (5)) = 4 x \ln (3)$

Schritt 10.1.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 10.1.4.1

Mutltipliziere $- 2 \ln (5)$ mit $1$ .

$- 2 \ln (5) - 3 x^{2} (- 2 \ln (5)) = 4 x \ln (3)$

Schritt 10.1.4.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 2 \ln (5) - 3 \cdot - 2 x^{2} \ln (5) = 4 x \ln (3)$

Schritt 10.1.4.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 2$ .

$- 2 \ln (5) + 6 x^{2} \ln (5) = 4 x \ln (3)$

Schritt 10.2

Subtrahiere $4 x \ln (3)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 \ln (5) + 6 x^{2} \ln (5) - 4 x \ln (3) = 0$

Schritt 10.3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 10.4

Setze die Werte $a = 6 \ln (5)$ , $b = - 4 \ln (3)$ und $c = - 2 \ln (5)$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{{(- 4 \ln (3))}^{2} - 4 \cdot (6 \ln (5) \cdot (- 2 \ln (5)))}}{2 (6 \ln (5))}$

Schritt 10.5

Vereinfache.

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Schritt 10.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.5.1.1

Füge Klammern hinzu.

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{{(- 4 \ln (3))}^{2} - 4 \cdot (6 (\ln (5) \cdot (- 2 \ln (5))))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Schritt 10.5.1.2

Es sei $u = 6 (\ln (5) \cdot (- 2 \ln (5)))$ . Ersetze $u$ für alle $6 (\ln (5) \cdot (- 2 \ln (5)))$ .

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Schritt 10.5.1.2.1

Wende die Produktregel auf $- 4 \ln (3)$ an.

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} \ln^{2} (3) - 4 \cdot u}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Schritt 10.5.1.2.2

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{16 \ln^{2} (3) - 4 u}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Schritt 10.5.1.3

Faktorisiere $4$ aus $16 \ln^{2} (3) - 4 u$ heraus.

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Schritt 10.5.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $16 \ln^{2} (3)$ heraus.

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (3)) - 4 u}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Schritt 10.5.1.3.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4 u$ heraus.

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (3)) + 4 (- u)}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Schritt 10.5.1.3.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (4 \ln^{2} (3)) + 4 (- u)$ heraus.

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (3) - u)}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Schritt 10.5.1.4

Ersetze alle $u$ durch $6 (\ln (5) \cdot (- 2 \ln (5)))$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (3) - (6 (\ln (5) \cdot (- 2 \ln (5)))))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Schritt 10.5.1.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.5.1.5.1

Multipliziere $\ln (5)$ mit $\ln (5)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 10.5.1.5.1.1

Bewege $\ln (5)$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (3) - (6 (\ln (5) \ln (5) \cdot - 2)))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Schritt 10.5.1.5.1.2

Mutltipliziere $\ln (5)$ mit $\ln (5)$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (3) - (6 (\ln^{2} (5) \cdot - 2)))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Schritt 10.5.1.5.2

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $\ln^{2} (5)$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (3) - (6 (- 2 \cdot \ln^{2} (5))))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Schritt 10.5.1.5.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $6$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (3) - (- 12 \ln^{2} (5)))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Schritt 10.5.1.5.4

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 1$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (3) + 12 \ln^{2} (5))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Schritt 10.5.1.6

Faktorisiere $4$ aus $4 \ln^{2} (3) + 12 \ln^{2} (5)$ heraus.

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Schritt 10.5.1.6.1

Faktorisiere $4$ aus $4 \ln^{2} (3)$ heraus.

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (3) + 12 \ln^{2} (5))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Schritt 10.5.1.6.2

Faktorisiere $4$ aus $12 \ln^{2} (5)$ heraus.

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (3) + 4 (3 \ln^{2} (5)))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Schritt 10.5.1.6.3

Faktorisiere $4$ aus $4 \ln^{2} (3) + 4 (3 \ln^{2} (5))$ heraus.

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 (\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5)))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 \cdot (4 (\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5)))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Schritt 10.5.1.7

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{16 (\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Schritt 10.5.1.8

Schreibe $16 (\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5))$ als ${(2^{2})}^{2} (\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5))$ um.

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Schritt 10.5.1.8.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4^{2} (\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Schritt 10.5.1.8.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Schritt 10.5.1.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{4 \ln (3) \pm 2^{2} \sqrt{\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5)}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Schritt 10.5.1.10

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm 4 \sqrt{\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5)}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Schritt 10.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm 4 \sqrt{\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5)}}{12 \ln (5)}$

Schritt 10.5.3

Vereinfache $\frac{4 \ln (3) \pm 4 \sqrt{\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5)}}{12 \ln (5)}$ .

$x = \frac{\ln (3) \pm \sqrt{\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5)}}{3 \ln (5)}$

Schritt 10.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{\ln (3) + \sqrt{\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5)}}{3 \ln (5)}, \frac{\ln (3) - \sqrt{\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5)}}{3 \ln (5)}$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{\ln (3) + \sqrt{\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5)}}{3 \ln (5)}, \frac{\ln (3) - \sqrt{\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5)}}{3 \ln (5)}$

Dezimalform:

$x = 0.84810424 \dots, - 0.39303344 \dots$