Analysis Beispiele

$4^{x} - 14 \cdot 2^{x} = - 49$

Schritt 1

Addiere $49$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4^{x} - 14 \cdot 2^{x} + 49 = 0$

Schritt 2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Schreibe $4^{x}$ als ${(2^{2})}^{x}$ um.

${(2^{2})}^{x} - 14 \cdot 2^{x} + 49 = 0$

Schritt 2.2

Schreibe ${(2^{2})}^{x}$ als ${(2^{x})}^{2}$ um.

${(2^{x})}^{2} - 14 \cdot 2^{x} + 49 = 0$

Schritt 2.3

Es sei $u = 2^{x}$ . Ersetze $u$ für alle $2^{x}$ .

$u^{2} - 14 u + 49 = 0$

Schritt 2.4

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 2.4.1

Schreibe $49$ als $7^{2}$ um.

$u^{2} - 14 u + 7^{2} = 0$

Schritt 2.4.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$14 u = 2 \cdot u \cdot 7$

Schritt 2.4.3

Schreibe das Polynom neu.

$u^{2} - 2 \cdot u \cdot 7 + 7^{2} = 0$

Schritt 2.4.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = u$ und $b = 7$ .

${(u - 7)}^{2} = 0$

Schritt 2.5

Ersetze alle $u$ durch $2^{x}$ .

${(2^{x} - 7)}^{2} = 0$

Schritt 3

Setze $2^{x} - 7$ gleich $0$ .

$2^{x} - 7 = 0$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2^{x} = 7$

Schritt 4.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (2^{x}) = \ln (7)$

Schritt 4.3

Zerlege $\ln (2^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (2) = \ln (7)$

Schritt 4.4

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (2) = \ln (7)$ durch $\ln (2)$ und vereinfache.

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Schritt 4.4.1

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (2) = \ln (7)$ durch $\ln (2)$ .

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (7)}{\ln (2)}$

Schritt 4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (2)$ .

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Schritt 4.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (7)}{\ln (2)}$

Schritt 4.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\ln (7)}{\ln (2)}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{\ln (7)}{\ln (2)}$

Dezimalform:

$x = 2.80735492 \dots$