Analysis Beispiele

$10^{x + 3} = 5 e^{7 - x}$

Schritt 1

Logarithmiere beide Seiten der Gleichung.

$\ln (10^{x + 3}) = \ln (5 e^{7 - x})$

Schritt 2

Zerlege $\ln (10^{x + 3})$ durch Herausziehen von $x + 3$ aus dem Logarithmus.

$(x + 3) \ln (10) = \ln (5 e^{7 - x})$

Schritt 3

Schreibe $\ln (5 e^{7 - x})$ als $\ln (5) + \ln (e^{7 - x})$ um.

$(x + 3) \ln (10) = \ln (5) + \ln (e^{7 - x})$

Schritt 4

Zerlege $\ln (e^{7 - x})$ durch Herausziehen von $7 - x$ aus dem Logarithmus.

$(x + 3) \ln (10) = \ln (5) + (7 - x) \ln (e)$

Schritt 5

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$(x + 3) \ln (10) = \ln (5) + (7 - x) \cdot 1$

Schritt 6

Mutltipliziere $7 - x$ mit $1$ .

$(x + 3) \ln (10) = \ln (5) + 7 - x$

Schritt 7

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$(x + 3) \ln (10) - \ln (5) = 7 - x$

Schritt 7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x \ln (10) + 3 \ln (10) - \ln (5) = 7 - x$

Schritt 7.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.3.1

Vereinfache $x \ln (10) + 3 \ln (10) - \ln (5)$ .

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Schritt 7.3.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.3.1.1.1

Vereinfache $3 \ln (10)$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$x \ln (10) + \ln (10^{3}) - \ln (5) = 7 - x$

Schritt 7.3.1.1.2

Potenziere $10$ mit $3$ .

$x \ln (10) + \ln (1000) - \ln (5) = 7 - x$

Schritt 7.3.1.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (10) + \ln (\frac{1000}{5}) = 7 - x$

Schritt 7.3.1.3

Dividiere $1000$ durch $5$ .

$x \ln (10) + \ln (200) = 7 - x$

Schritt 7.4

Addiere $x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x \ln (10) + \ln (200) + x = 7$

Schritt 7.5

Subtrahiere $\ln (200)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x \ln (10) + x = 7 - \ln (200)$

Schritt 7.6

Faktorisiere $x$ aus $x \ln (10) + x$ heraus.

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Schritt 7.6.1

Faktorisiere $x$ aus $x \ln (10)$ heraus.

$x (\ln (10)) + x = 7 - \ln (200)$

Schritt 7.6.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x (\ln (10)) + x = 7 - \ln (200)$

Schritt 7.6.3

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$x (\ln (10)) + x \cdot 1 = 7 - \ln (200)$

Schritt 7.6.4

Faktorisiere $x$ aus $x (\ln (10)) + x \cdot 1$ heraus.

$x (\ln (10) + 1) = 7 - \ln (200)$

Schritt 7.7

Teile jeden Ausdruck in $x (\ln (10) + 1) = 7 - \ln (200)$ durch $\ln (10) + 1$ und vereinfache.

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Schritt 7.7.1

Teile jeden Ausdruck in $x (\ln (10) + 1) = 7 - \ln (200)$ durch $\ln (10) + 1$ .

$\frac{x (\ln (10) + 1)}{\ln (10) + 1} = \frac{7}{\ln (10) + 1} + \frac{- \ln (200)}{\ln (10) + 1}$

Schritt 7.7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (10) + 1$ .

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Schritt 7.7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (\ln (10) + 1)}{\ln (10) + 1} = \frac{7}{\ln (10) + 1} + \frac{- \ln (200)}{\ln (10) + 1}$

Schritt 7.7.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{7}{\ln (10) + 1} + \frac{- \ln (200)}{\ln (10) + 1}$

Schritt 7.7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.7.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = \frac{7}{\ln (10) + 1} - \frac{\ln (200)}{\ln (10) + 1}$

Schritt 7.7.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{7 - \ln (200)}{\ln (10) + 1}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{7 - \ln (200)}{\ln (10) + 1}$

Dezimalform:

$x = 0.51525777 \dots$