Analysis Beispiele

$(9 x + 4) (12 x - 15) = (2 x - 3) (5 - 4 x)$

Schritt 1

Vereinfache $(9 x + 4) (12 x - 15)$ .

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Schritt 1.1

Forme um.

$0 + 0 + (9 x + 4) (12 x - 15) = (2 x - 3) (5 - 4 x)$

Schritt 1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$(9 x + 4) (12 x - 15) = (2 x - 3) (5 - 4 x)$

Schritt 1.3

Multipliziere $(9 x + 4) (12 x - 15)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$9 x (12 x - 15) + 4 (12 x - 15) = (2 x - 3) (5 - 4 x)$

Schritt 1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$9 x (12 x) + 9 x \cdot - 15 + 4 (12 x - 15) = (2 x - 3) (5 - 4 x)$

Schritt 1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$9 x (12 x) + 9 x \cdot - 15 + 4 (12 x) + 4 \cdot - 15 = (2 x - 3) (5 - 4 x)$

Schritt 1.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$9 \cdot 12 x \cdot x + 9 x \cdot - 15 + 4 (12 x) + 4 \cdot - 15 = (2 x - 3) (5 - 4 x)$

Schritt 1.4.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.4.1.2.1

Bewege $x$ .

$9 \cdot 12 (x \cdot x) + 9 x \cdot - 15 + 4 (12 x) + 4 \cdot - 15 = (2 x - 3) (5 - 4 x)$

Schritt 1.4.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$9 \cdot 12 x^{2} + 9 x \cdot - 15 + 4 (12 x) + 4 \cdot - 15 = (2 x - 3) (5 - 4 x)$

Schritt 1.4.1.3

Mutltipliziere $9$ mit $12$ .

$108 x^{2} + 9 x \cdot - 15 + 4 (12 x) + 4 \cdot - 15 = (2 x - 3) (5 - 4 x)$

Schritt 1.4.1.4

Mutltipliziere $- 15$ mit $9$ .

$108 x^{2} - 135 x + 4 (12 x) + 4 \cdot - 15 = (2 x - 3) (5 - 4 x)$

Schritt 1.4.1.5

Mutltipliziere $12$ mit $4$ .

$108 x^{2} - 135 x + 48 x + 4 \cdot - 15 = (2 x - 3) (5 - 4 x)$

Schritt 1.4.1.6

Mutltipliziere $4$ mit $- 15$ .

$108 x^{2} - 135 x + 48 x - 60 = (2 x - 3) (5 - 4 x)$

Schritt 1.4.2

Addiere $- 135 x$ und $48 x$ .

$108 x^{2} - 87 x - 60 = (2 x - 3) (5 - 4 x)$

Schritt 2

Vereinfache $(2 x - 3) (5 - 4 x)$ .

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Schritt 2.1

Multipliziere $(2 x - 3) (5 - 4 x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$108 x^{2} - 87 x - 60 = 2 x (5 - 4 x) - 3 (5 - 4 x)$

Schritt 2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$108 x^{2} - 87 x - 60 = 2 x \cdot 5 + 2 x (- 4 x) - 3 (5 - 4 x)$

Schritt 2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$108 x^{2} - 87 x - 60 = 2 x \cdot 5 + 2 x (- 4 x) - 3 \cdot 5 - 3 (- 4 x)$

Schritt 2.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$108 x^{2} - 87 x - 60 = 10 x + 2 x (- 4 x) - 3 \cdot 5 - 3 (- 4 x)$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$108 x^{2} - 87 x - 60 = 10 x + 2 \cdot - 4 x \cdot x - 3 \cdot 5 - 3 (- 4 x)$

Schritt 2.2.1.3

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.1.3.1

Bewege $x$ .

$108 x^{2} - 87 x - 60 = 10 x + 2 \cdot - 4 (x \cdot x) - 3 \cdot 5 - 3 (- 4 x)$

Schritt 2.2.1.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$108 x^{2} - 87 x - 60 = 10 x + 2 \cdot - 4 x^{2} - 3 \cdot 5 - 3 (- 4 x)$

Schritt 2.2.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$108 x^{2} - 87 x - 60 = 10 x - 8 x^{2} - 3 \cdot 5 - 3 (- 4 x)$

Schritt 2.2.1.5

Mutltipliziere $- 3$ mit $5$ .

$108 x^{2} - 87 x - 60 = 10 x - 8 x^{2} - 15 - 3 (- 4 x)$

Schritt 2.2.1.6

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 3$ .

$108 x^{2} - 87 x - 60 = 10 x - 8 x^{2} - 15 + 12 x$

Schritt 2.2.2

Addiere $10 x$ und $12 x$ .

$108 x^{2} - 87 x - 60 = 22 x - 8 x^{2} - 15$

Schritt 3

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $22 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$108 x^{2} - 87 x - 60 - 22 x = - 8 x^{2} - 15$

Schritt 3.2

Addiere $8 x^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$108 x^{2} - 87 x - 60 - 22 x + 8 x^{2} = - 15$

Schritt 3.3

Addiere $108 x^{2}$ und $8 x^{2}$ .

$116 x^{2} - 87 x - 60 - 22 x = - 15$

Schritt 3.4

Subtrahiere $22 x$ von $- 87 x$ .

$116 x^{2} - 109 x - 60 = - 15$

Schritt 4

Addiere $15$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$116 x^{2} - 109 x - 60 + 15 = 0$

Schritt 5

Addiere $- 60$ und $15$ .

$116 x^{2} - 109 x - 45 = 0$

Schritt 6

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 6.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 116 \cdot - 45 = - 5220$ und deren Summe gleich $b = - 109$ ist.

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Schritt 6.1.1

Faktorisiere $- 109$ aus $- 109 x$ heraus.

$116 x^{2} - 109 x - 45 = 0$

Schritt 6.1.2

Schreibe $- 109$ um als $36$ plus $- 145$

$116 x^{2} + (36 - 145) x - 45 = 0$

Schritt 6.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$116 x^{2} + 36 x - 145 x - 45 = 0$

Schritt 6.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 6.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(116 x^{2} + 36 x) - 145 x - 45 = 0$

Schritt 6.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$4 x (29 x + 9) - 5 (29 x + 9) = 0$

Schritt 6.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $29 x + 9$ .

$(29 x + 9) (4 x - 5) = 0$

Schritt 7

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$29 x + 9 = 0$

$4 x - 5 = 0$

Schritt 8

Setze $29 x + 9$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Setze $29 x + 9$ gleich $0$ .

$29 x + 9 = 0$

Schritt 8.2

Löse $29 x + 9 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 8.2.1

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$29 x = - 9$

Schritt 8.2.2

Teile jeden Ausdruck in $29 x = - 9$ durch $29$ und vereinfache.

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Schritt 8.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $29 x = - 9$ durch $29$ .

$\frac{29 x}{29} = \frac{- 9}{29}$

Schritt 8.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $29$ .

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Schritt 8.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{29 x}{29} = \frac{- 9}{29}$

Schritt 8.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 9}{29}$

Schritt 8.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{9}{29}$

Schritt 9

Setze $4 x - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 9.1

Setze $4 x - 5$ gleich $0$ .

$4 x - 5 = 0$

Schritt 9.2

Löse $4 x - 5 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 9.2.1

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 x = 5$

Schritt 9.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 5$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 9.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 5$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{5}{4}$

Schritt 9.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 9.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{5}{4}$

Schritt 9.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{5}{4}$

Schritt 10

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(29 x + 9) (4 x - 5) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{9}{29}, \frac{5}{4}$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - \frac{9}{29}, \frac{5}{4}$

Dezimalform:

$x = - 0.31034482 \dots, 1.25$

Darstellung als gemischte Zahl:

$x = - \frac{9}{29}, 1 \frac{1}{4}$