Analysis Beispiele

$2500 = 100 (1 + 0.2 t + 0.02 t^{2})$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $100 (1 + 0.2 t + 0.02 t^{2}) = 2500$ um.

$100 (1 + 0.2 t + 0.02 t^{2}) = 2500$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $100 (1 + 0.2 t + 0.02 t^{2}) = 2500$ durch $100$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $100 (1 + 0.2 t + 0.02 t^{2}) = 2500$ durch $100$ .

$\frac{100 (1 + 0.2 t + 0.02 t^{2})}{100} = \frac{2500}{100}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $100$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{100 (1 + 0.2 t + 0.02 t^{2})}{100} = \frac{2500}{100}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $1 + 0.2 t + 0.02 t^{2}$ durch $1$ .

$1 + 0.2 t + 0.02 t^{2} = \frac{2500}{100}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Dividiere $2500$ durch $100$ .

$1 + 0.2 t + 0.02 t^{2} = 25$

Schritt 3

Subtrahiere $25$ von beiden Seiten der Gleichung.

$1 + 0.2 t + 0.02 t^{2} - 25 = 0$

Schritt 4

Subtrahiere $25$ von $1$ .

$0.2 t + 0.02 t^{2} - 24 = 0$

Schritt 5

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $0.02$ aus $0.2 t + 0.02 t^{2} - 24$ heraus.

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $0.02$ aus $0.2 t$ heraus.

$0.02 (10 t) + 0.02 t^{2} - 24 = 0$

Schritt 5.1.2

Faktorisiere $0.02$ aus $0.02 t^{2}$ heraus.

$0.02 (10 t) + 0.02 (t^{2}) - 24 = 0$

Schritt 5.1.3

Faktorisiere $0.02$ aus $- 24$ heraus.

$0.02 (10 t) + 0.02 t^{2} + 0.02 \cdot - 1200 = 0$

Schritt 5.1.4

Faktorisiere $0.02$ aus $0.02 (10 t) + 0.02 t^{2}$ heraus.

$0.02 (10 t + t^{2}) + 0.02 \cdot - 1200 = 0$

Schritt 5.1.5

Faktorisiere $0.02$ aus $0.02 (10 t + t^{2}) + 0.02 \cdot - 1200$ heraus.

$0.02 (10 t + t^{2} - 1200) = 0$

Schritt 5.2

Es sei $u = t$ . Ersetze $u$ für alle $t$ .

$0.02 (10 u + u^{2} - 1200) = 0$

Schritt 5.3

Faktorisiere $10 u + u^{2} - 1200$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 5.3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 1200$ und deren Summe $10$ ist.

$- 30, 40$

Schritt 5.3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$0.02 ((u - 30) (u + 40)) = 0$

Schritt 5.4

Faktorisiere.

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Schritt 5.4.1

Ersetze alle $u$ durch $t$ .

$0.02 ((t - 30) (t + 40)) = 0$

Schritt 5.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$0.02 (t - 30) (t + 40) = 0$

Schritt 6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$t - 30 = 0$

$t + 40 = 0$

Schritt 7

Setze $t - 30$ gleich $0$ und löse nach $t$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $t - 30$ gleich $0$ .

$t - 30 = 0$

Schritt 7.2

Addiere $30$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$t = 30$

Schritt 8

Setze $t + 40$ gleich $0$ und löse nach $t$ auf.

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Schritt 8.1

Setze $t + 40$ gleich $0$ .

$t + 40 = 0$

Schritt 8.2

Subtrahiere $40$ von beiden Seiten der Gleichung.

$t = - 40$

Schritt 9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $0.02 (t - 30) (t + 40) = 0$ wahr machen.

$t = 30, - 40$