Analysis Beispiele

$x^{2} + y^{2} = 4$ , $(0, 2)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 0$ und $y = 2$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + y^{2}) = \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 1.2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Differenziere.

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Schritt 1.2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + y^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 1.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Schritt 1.2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 1.2.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$2 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 1.2.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 1.2.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 1.2.2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 x + 2 y y'$

Schritt 1.2.3

Stelle die Terme um.

$2 y y' + 2 x$

Schritt 1.3

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 1.4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$2 y y' + 2 x = 0$

Schritt 1.5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 1.5.1

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 y y' = - 2 x$

Schritt 1.5.2

Teile jeden Ausdruck in $2 y y' = - 2 x$ durch $2 y$ und vereinfache.

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Schritt 1.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y y' = - 2 x$ durch $2 y$ .

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{- 2 x}{2 y}$

Schritt 1.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{- 2 x}{2 y}$

Schritt 1.5.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 x}{2 y}$

Schritt 1.5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 x}{2 y}$

Schritt 1.5.2.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{2 y}$

Schritt 1.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 1.5.2.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$y' = \frac{2 (- x)}{2 y}$

Schritt 1.5.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.2.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 y$ heraus.

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (y)}$

Schritt 1.5.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{2 (- x)}{2 y}$

Schritt 1.5.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{- x}{y}$

Schritt 1.5.2.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{x}{y}$

Schritt 1.6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{y}$

Schritt 1.7

Berechne bei $x = 0$ und $y = 2$ .

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Schritt 1.7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$- \frac{0}{y}$

Schritt 1.7.2

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $y$ durch $2$ .

$- \frac{0}{2}$

Schritt 1.7.3

Dividiere $0$ durch $2$ .

$- 0$

Schritt 1.7.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$0$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $0$ und einen gegebenen Punkt $(0, 2)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (2) = 0 \cdot (x - (0))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 2 = 0 \cdot (x + 0)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $0 \cdot (x + 0)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Addiere $x$ und $0$ .

$y - 2 = 0 \cdot x$

Schritt 2.3.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $x$ .

$y - 2 = 0$

Schritt 2.3.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 2$

Schritt 3