Analysis Beispiele

$x = 0$ , $x = 3$ , $y = 2 e^{5 x}$ , $y = e^{5 x} + e^{10}$

Schritt 1

Löse durch Einsetzen (Substitution), um den Schnittpunkt von beiden Kurven zu ermitteln.

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Schritt 1.1

Eliminiere die beiden gleichen Seiten jeder Gleichung und vereine.

$2 e^{5 x} = e^{5 x} + e^{10}$

Schritt 1.2

Löse $2 e^{5 x} = e^{5 x} + e^{10}$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Schreibe $e^{5 x}$ als Potenz um.

$2 e^{5 x} = {(e^{x})}^{5} + e^{10} = e^{5 x} + e^{10}$

Schritt 1.2.2

Ersetze $e^{x}$ durch $u$ .

$2 e^{5 x} = u^{5} + e^{10} = e^{5 x} + e^{10}$

Schritt 1.2.3

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.3.1

Subtrahiere $e^{5 x}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 e^{5 x} - e^{5 x} = e^{10}$

Schritt 1.2.3.2

Subtrahiere $e^{5 x}$ von $2 e^{5 x}$ .

$e^{5 x} = e^{10}$

Schritt 1.2.4

Da die Basen gleich sind, sind zwei Ausdrücke nur dann gleich, wenn die Exponenten auch gleich sind.

$5 x = 10$

Schritt 1.2.5

Teile jeden Ausdruck in $5 x = 10$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.5.1

Teile jeden Ausdruck in $5 x = 10$ durch $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{10}{5}$

Schritt 1.2.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 1.2.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x}{5} = \frac{10}{5}$

Schritt 1.2.5.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{10}{5}$

Schritt 1.2.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.5.3.1

Dividiere $10$ durch $5$ .

$x = 2$

Schritt 1.3

Berechne $y$ bei $x = 2$ .

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Schritt 1.3.1

Ersetze $x$ durch $2$ .

$y = e^{5 (2)} + e^{10}$

Schritt 1.3.2

Vereinfache $e^{5 (2)} + e^{10}$ .

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Schritt 1.3.2.1

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$y = e^{10} + e^{10}$

Schritt 1.3.2.2

Addiere $e^{10}$ und $e^{10}$ .

$y = 2 e^{10}$

Schritt 1.4

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(2, 2 e^{10})$

Schritt 2

Die Fläche des Bereichs zwischen den Kurven ist definiert als das Integral der oberen Kurve minus dem Integral der unteren Kurve in jedem Abschnitt. Die Abschnitte werden durch die Schnittpunkte der Kurven bestimmt. Dies kann algebraisch oder graphisch erfolgen.

$A r e a = \int_{0}^{2} e^{5 x} + e^{10} d x - \int_{0}^{2} 2 e^{5 x} d x$

Schritt 3

Integriere, um die Fläche zwischen $0$ und $2$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1

Kombiniere die Integrale zu einem einzigen Integral.

$\int_{0}^{2} e^{5 x} + e^{10} - (2 e^{5 x}) d x$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\int_{0}^{2} e^{5 x} + e^{10} - 2 e^{5 x} d x$

Schritt 3.3

Subtrahiere $2 e^{5 x}$ von $e^{5 x}$ .

$\int_{0}^{2} e^{10} - e^{5 x} d x$

Schritt 3.4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{0}^{2} e^{10} d x + \int_{0}^{2} - e^{5 x} d x$

Schritt 3.5

Wende die Konstantenregel an.

$e^{10} x]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} - e^{5 x} d x$

Schritt 3.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{10} x]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} e^{5 x} d x$

Schritt 3.7

Sei $u = 5 x$ . Dann ist $d u = 5 d x$ , folglich $\frac{1}{5} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 3.7.1

Es sei $u = 5 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 3.7.1.1

Differenziere $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

Schritt 3.7.1.2

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.7.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Schritt 3.7.1.4

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$5$

Schritt 3.7.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 5 x$ ein.

$u_{lower} = 5 \cdot 0$

Schritt 3.7.3

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 3.7.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 5 x$ ein.

$u_{upper} = 5 \cdot 2$

Schritt 3.7.5

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$u_{upper} = 10$

Schritt 3.7.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 10$

Schritt 3.7.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$e^{10} x]_{0}^{2} - \int_{0}^{10} e^{u} \frac{1}{5} d u$

Schritt 3.8

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{5}$ .

$e^{10} x]_{0}^{2} - \int_{0}^{10} \frac{e^{u}}{5} d u$

Schritt 3.9

Da $\frac{1}{5}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{5}$ aus dem Integral.

$e^{10} x]_{0}^{2} - (\frac{1}{5} \int_{0}^{10} e^{u} d u)$

Schritt 3.10

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$e^{10} x]_{0}^{2} - \frac{1}{5} e^{u}]_{0}^{10}$

Schritt 3.11

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 3.11.1

Berechne $e^{10} x$ bei $2$ und $0$ .

$(e^{10} \cdot 2) - e^{10} \cdot 0 - \frac{1}{5} e^{u}]_{0}^{10}$

Schritt 3.11.2

Berechne $e^{u}$ bei $10$ und $0$ .

$(e^{10} \cdot 2) - e^{10} \cdot 0 - \frac{1}{5} ((e^{10}) - e^{0})$

Schritt 3.11.3

Vereinfache.

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Schritt 3.11.3.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{10}$ .

$2 \cdot e^{10} - e^{10} \cdot 0 - \frac{1}{5} ((e^{10}) - e^{0})$

Schritt 3.11.3.2

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$2 e^{10} + 0 e^{10} - \frac{1}{5} ((e^{10}) - e^{0})$

Schritt 3.11.3.3

Mutltipliziere $0$ mit $e^{10}$ .

$2 e^{10} + 0 - \frac{1}{5} ((e^{10}) - e^{0})$

Schritt 3.11.3.4

Addiere $2 e^{10}$ und $0$ .

$2 e^{10} - \frac{1}{5} ((e^{10}) - e^{0})$

Schritt 3.11.3.5

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$2 e^{10} - \frac{1}{5} (e^{10} - 1 \cdot 1)$

Schritt 3.11.3.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$2 e^{10} - \frac{1}{5} (e^{10} - 1)$

Schritt 3.12

Vereinfache.

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Schritt 3.12.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.12.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 e^{10} - \frac{1}{5} e^{10} - \frac{1}{5} \cdot - 1$

Schritt 3.12.1.2

Kombiniere $e^{10}$ und $\frac{1}{5}$ .

$2 e^{10} - \frac{e^{10}}{5} - \frac{1}{5} \cdot - 1$

Schritt 3.12.1.3

Multipliziere $- \frac{1}{5} \cdot - 1$ .

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Schritt 3.12.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$2 e^{10} - \frac{e^{10}}{5} + 1 (\frac{1}{5})$

Schritt 3.12.1.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{5}$ mit $1$ .

$2 e^{10} - \frac{e^{10}}{5} + \frac{1}{5}$

Schritt 3.12.2

Um $2 e^{10}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$2 e^{10} \cdot \frac{5}{5} - \frac{e^{10}}{5} + \frac{1}{5}$

Schritt 3.12.3

Kombiniere $2 e^{10}$ und $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2 e^{10} \cdot 5}{5} - \frac{e^{10}}{5} + \frac{1}{5}$

Schritt 3.12.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 e^{10} \cdot 5 - e^{10}}{5} + \frac{1}{5}$

Schritt 3.12.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 e^{10} \cdot 5 - e^{10} + 1}{5}$

Schritt 3.12.6

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$\frac{10 e^{10} - e^{10} + 1}{5}$

Schritt 3.12.7

Subtrahiere $e^{10}$ von $10 e^{10}$ .

$\frac{9 e^{10} + 1}{5}$

Schritt 4

$A r e a = \int_{2}^{3} 2 e^{5 x} d x - \int_{2}^{3} e^{5 x} + e^{10} d x$

Schritt 5

Integriere, um die Fläche zwischen $2$ und $3$ zu ermitteln.

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Schritt 5.1

Kombiniere die Integrale zu einem einzigen Integral.

$\int_{2}^{3} 2 e^{5 x} - (e^{5 x} + e^{10}) d x$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\int_{2}^{3} 2 e^{5 x} - e^{5 x} - e^{10} d x$

Schritt 5.3

Subtrahiere $e^{5 x}$ von $2 e^{5 x}$ .

$\int_{2}^{3} e^{5 x} - e^{10} d x$

Schritt 5.4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{2}^{3} e^{5 x} d x + \int_{2}^{3} - e^{10} d x$

Schritt 5.5

Sei $u = 5 x$ . Dann ist $d u = 5 d x$ , folglich $\frac{1}{5} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 5.5.1

Es sei $u = 5 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 5.5.1.1

Differenziere $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

Schritt 5.5.1.2

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Schritt 5.5.1.4

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$5$

Schritt 5.5.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 5 x$ ein.

$u_{lower} = 5 \cdot 2$

Schritt 5.5.3

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$u_{lower} = 10$

Schritt 5.5.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 5 x$ ein.

$u_{upper} = 5 \cdot 3$

Schritt 5.5.5

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$u_{upper} = 15$

Schritt 5.5.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 10$

$u_{upper} = 15$

Schritt 5.5.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{10}^{15} e^{u} \frac{1}{5} d u + \int_{2}^{3} - e^{10} d x$

Schritt 5.6

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{5}$ .

$\int_{10}^{15} \frac{e^{u}}{5} d u + \int_{2}^{3} - e^{10} d x$

Schritt 5.7

Da $\frac{1}{5}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{5}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{5} \int_{10}^{15} e^{u} d u + \int_{2}^{3} - e^{10} d x$

Schritt 5.8

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$\frac{1}{5} e^{u}]_{10}^{15} + \int_{2}^{3} - e^{10} d x$

Schritt 5.9

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{5} e^{u}]_{10}^{15} + - e^{10} x]_{2}^{3}$

Schritt 5.10

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 5.10.1

Berechne $e^{u}$ bei $15$ und $10$ .

$\frac{1}{5} ((e^{15}) - e^{10}) + - e^{10} x]_{2}^{3}$

Schritt 5.10.2

Berechne $- e^{10} x$ bei $3$ und $2$ .

$\frac{1}{5} ((e^{15}) - e^{10}) + (- e^{10} \cdot 3) + e^{10} \cdot 2$

Schritt 5.10.3

Vereinfache.

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Schritt 5.10.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{5} (e^{15} - e^{10}) - 3 e^{10} + e^{10} \cdot 2$

Schritt 5.10.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{10}$ .

$\frac{1}{5} (e^{15} - e^{10}) - 3 e^{10} + 2 \cdot e^{10}$

Schritt 5.10.3.3

Addiere $- 3 e^{10}$ und $2 e^{10}$ .

$\frac{1}{5} (e^{15} - e^{10}) - e^{10}$

Schritt 5.11

Vereinfache.

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Schritt 5.11.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.11.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{5} e^{15} + \frac{1}{5} (- e^{10}) - e^{10}$

Schritt 5.11.1.2

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $e^{15}$ .

$\frac{e^{15}}{5} + \frac{1}{5} (- e^{10}) - e^{10}$

Schritt 5.11.1.3

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $e^{10}$ .

$\frac{e^{15}}{5} - \frac{e^{10}}{5} - e^{10}$

Schritt 5.11.2

Um $- e^{10}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{e^{15}}{5} - \frac{e^{10}}{5} - e^{10} \cdot \frac{5}{5}$

Schritt 5.11.3

Kombiniere $- e^{10}$ und $\frac{5}{5}$ .

$\frac{e^{15}}{5} - \frac{e^{10}}{5} + \frac{- e^{10} \cdot 5}{5}$

Schritt 5.11.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{e^{15}}{5} + \frac{- e^{10} - e^{10} \cdot 5}{5}$

Schritt 5.11.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{e^{15} - e^{10} - e^{10} \cdot 5}{5}$

Schritt 5.11.6

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$\frac{e^{15} - e^{10} - 5 e^{10}}{5}$

Schritt 5.11.7

Subtrahiere $5 e^{10}$ von $- e^{10}$ .

$\frac{e^{15} - 6 e^{10}}{5}$

Schritt 6

Addiere die Flächen $\frac{9 e^{10} + 1}{5} + \frac{e^{15} - 6 e^{10}}{5}$ .

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Schritt 6.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{9 e^{10} + 1 + e^{15} - 6 e^{10}}{5}$

Schritt 6.2

Subtrahiere $6 e^{10}$ von $9 e^{10}$ .

$\frac{3 e^{10} + 1 + e^{15}}{5}$

Schritt 7