Analysis Beispiele

Ermittle die Fläche zwischen den Kurven x=0 , x=3 , y=2e^(3x) , y=e^(3x)+e^6
, , ,
Schritt 1
Löse durch Einsetzen (Substitution), um den Schnittpunkt von beiden Kurven zu ermitteln.
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Schritt 1.1
Eliminiere die beiden gleichen Seiten jeder Gleichung und vereine.
Schritt 1.2
Löse nach auf.
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Schritt 1.2.1
Schreibe als Potenz um.
Schritt 1.2.2
Ersetze durch .
Schritt 1.2.3
Bringe alle Terme, die enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.
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Schritt 1.2.3.1
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 1.2.3.2
Subtrahiere von .
Schritt 1.2.4
Da die Basen gleich sind, sind zwei Ausdrücke nur dann gleich, wenn die Exponenten auch gleich sind.
Schritt 1.2.5
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
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Schritt 1.2.5.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 1.2.5.2
Vereinfache die linke Seite.
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Schritt 1.2.5.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 1.2.5.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.2.5.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 1.2.5.3
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 1.2.5.3.1
Dividiere durch .
Schritt 1.3
Berechne bei .
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Schritt 1.3.1
Ersetze durch .
Schritt 1.3.2
Vereinfache .
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Schritt 1.3.2.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.3.2.2
Addiere und .
Schritt 1.4
Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.
Schritt 2
Die Fläche des Bereichs zwischen den Kurven ist definiert als das Integral der oberen Kurve minus dem Integral der unteren Kurve in jedem Abschnitt. Die Abschnitte werden durch die Schnittpunkte der Kurven bestimmt. Dies kann algebraisch oder graphisch erfolgen.
Schritt 3
Integriere, um die Fläche zwischen und zu ermitteln.
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Schritt 3.1
Kombiniere die Integrale zu einem einzigen Integral.
Schritt 3.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.3
Subtrahiere von .
Schritt 3.4
Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.
Schritt 3.5
Wende die Konstantenregel an.
Schritt 3.6
Da konstant bezüglich ist, ziehe aus dem Integral.
Schritt 3.7
Sei . Dann ist , folglich . Forme um unter Verwendung von und .
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Schritt 3.7.1
Es sei . Ermittle .
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Schritt 3.7.1.1
Differenziere .
Schritt 3.7.1.2
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 3.7.1.3
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 3.7.1.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.7.2
Setze die untere Grenze für in ein.
Schritt 3.7.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.7.4
Setze die obere Grenze für in ein.
Schritt 3.7.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.7.6
Die für und gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.
Schritt 3.7.7
Schreibe die Aufgabe mithilfe von , und den neuen Grenzen der Integration neu.
Schritt 3.8
Kombiniere und .
Schritt 3.9
Da konstant bezüglich ist, ziehe aus dem Integral.
Schritt 3.10
Das Integral von nach ist .
Schritt 3.11
Substituiere und vereinfache.
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Schritt 3.11.1
Berechne bei und .
Schritt 3.11.2
Berechne bei und .
Schritt 3.11.3
Vereinfache.
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Schritt 3.11.3.1
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 3.11.3.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.11.3.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.11.3.4
Addiere und .
Schritt 3.11.3.5
Alles, was mit potenziert wird, ist .
Schritt 3.11.3.6
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.12
Vereinfache.
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Schritt 3.12.1
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 3.12.1.1
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 3.12.1.2
Kombiniere und .
Schritt 3.12.1.3
Multipliziere .
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Schritt 3.12.1.3.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.12.1.3.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.12.2
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 3.12.3
Kombiniere und .
Schritt 3.12.4
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 3.12.5
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 3.12.6
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.12.7
Subtrahiere von .
Schritt 4
Die Fläche des Bereichs zwischen den Kurven ist definiert als das Integral der oberen Kurve minus dem Integral der unteren Kurve in jedem Abschnitt. Die Abschnitte werden durch die Schnittpunkte der Kurven bestimmt. Dies kann algebraisch oder graphisch erfolgen.
Schritt 5
Integriere, um die Fläche zwischen und zu ermitteln.
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Schritt 5.1
Kombiniere die Integrale zu einem einzigen Integral.
Schritt 5.2
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 5.3
Subtrahiere von .
Schritt 5.4
Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.
Schritt 5.5
Sei . Dann ist , folglich . Forme um unter Verwendung von und .
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Schritt 5.5.1
Es sei . Ermittle .
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Schritt 5.5.1.1
Differenziere .
Schritt 5.5.1.2
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 5.5.1.3
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 5.5.1.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.5.2
Setze die untere Grenze für in ein.
Schritt 5.5.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.5.4
Setze die obere Grenze für in ein.
Schritt 5.5.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.5.6
Die für und gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.
Schritt 5.5.7
Schreibe die Aufgabe mithilfe von , und den neuen Grenzen der Integration neu.
Schritt 5.6
Kombiniere und .
Schritt 5.7
Da konstant bezüglich ist, ziehe aus dem Integral.
Schritt 5.8
Das Integral von nach ist .
Schritt 5.9
Wende die Konstantenregel an.
Schritt 5.10
Substituiere und vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.10.1
Berechne bei und .
Schritt 5.10.2
Berechne bei und .
Schritt 5.10.3
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.10.3.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.10.3.2
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 5.10.3.3
Addiere und .
Schritt 5.11
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.11.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.11.1.1
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 5.11.1.2
Kombiniere und .
Schritt 5.11.1.3
Kombiniere und .
Schritt 5.11.2
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 5.11.3
Kombiniere und .
Schritt 5.11.4
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 5.11.5
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 5.11.6
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.11.7
Subtrahiere von .
Schritt 6
Addiere die Flächen .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.1
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 6.2
Subtrahiere von .
Schritt 7