Analysis Beispiele

$\ln ({(7 x^{9} + 4 x)}^{\frac{9}{5}})$

Schritt 1

Finde die Asymptoten.

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Schritt 1.1

Setze das Argument des Logarithmus gleich null.

${(7 x^{9} + 4 x)}^{\frac{9}{5}} = 0$

Schritt 1.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Setze $7 x^{9} + 4 x$ gleich $0$ .

$7 x^{9} + 4 x = 0$

Schritt 1.2.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $7 x^{9} + 4 x$ heraus.

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Schritt 1.2.2.1.1

Faktorisiere $x$ aus $7 x^{9}$ heraus.

$x (7 x^{8}) + 4 x = 0$

Schritt 1.2.2.1.2

Faktorisiere $x$ aus $4 x$ heraus.

$x (7 x^{8}) + x \cdot 4 = 0$

Schritt 1.2.2.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x (7 x^{8}) + x \cdot 4$ heraus.

$x (7 x^{8} + 4) = 0$

Schritt 1.2.2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$7 x^{8} + 4 = 0$

Schritt 1.2.2.3

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 1.2.2.4

Setze $7 x^{8} + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.2.4.1

Setze $7 x^{8} + 4$ gleich $0$ .

$7 x^{8} + 4 = 0$

Schritt 1.2.2.4.2

Löse $7 x^{8} + 4 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.2.4.2.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$7 x^{8} = - 4$

Schritt 1.2.2.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $7 x^{8} = - 4$ durch $7$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.2.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $7 x^{8} = - 4$ durch $7$ .

$\frac{7 x^{8}}{7} = \frac{- 4}{7}$

Schritt 1.2.2.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 1.2.2.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7 x^{8}}{7} = \frac{- 4}{7}$

Schritt 1.2.2.4.2.2.2.1.2

Dividiere $x^{8}$ durch $1$ .

$x^{8} = \frac{- 4}{7}$

Schritt 1.2.2.4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.2.4.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{8} = - \frac{4}{7}$

Schritt 1.2.2.4.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[8]{- \frac{4}{7}}$

Schritt 1.2.2.4.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.2.4.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt[8]{- \frac{4}{7}}$

Schritt 1.2.2.4.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt[8]{- \frac{4}{7}}$

Schritt 1.2.2.4.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt[8]{- \frac{4}{7}}, - \sqrt[8]{- \frac{4}{7}}$

Schritt 1.2.2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (7 x^{8} + 4) = 0$ wahr machen.

$x = 0, \sqrt[8]{- \frac{4}{7}}, - \sqrt[8]{- \frac{4}{7}}$

Schritt 1.2.3

Schließe die Lösungen aus, die ${(7 x^{9} + 4 x)}^{\frac{9}{5}} = 0$ nicht erfüllen.

$x = 0$

Schritt 1.3

Die vertikale Asymptote tritt bei $x = 0$ auf.

Vertikale Asymptote: $x = 0$

Schritt 2

Bestimme den Punkt bei $x = 1$ .

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = \ln ({(7 {(1)}^{9} + 4 (1))}^{\frac{9}{5}})$

Schritt 2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = \ln ({(7 \cdot 1 + 4 (1))}^{\frac{9}{5}})$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$f (1) = \ln ({(7 + 4 (1))}^{\frac{9}{5}})$

Schritt 2.2.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$f (1) = \ln ({(7 + 4)}^{\frac{9}{5}})$

Schritt 2.2.2

Addiere $7$ und $4$ .

$f (1) = \ln (11^{\frac{9}{5}})$

Schritt 2.2.3

Die endgültige Lösung ist $\ln (11^{\frac{9}{5}})$ .

$\ln (11^{\frac{9}{5}})$

Schritt 2.3

Konvertiere $\ln (11^{\frac{9}{5}})$ nach Dezimal.

$y = 4.31621149$

Schritt 3

Bestimme den Punkt bei $x = 2$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = \ln ({(7 {(2)}^{9} + 4 (2))}^{\frac{9}{5}})$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Potenziere $2$ mit $9$ .

$f (2) = \ln ({(7 \cdot 512 + 4 (2))}^{\frac{9}{5}})$

Schritt 3.2.1.2

Mutltipliziere $7$ mit $512$ .

$f (2) = \ln ({(3584 + 4 (2))}^{\frac{9}{5}})$

Schritt 3.2.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$f (2) = \ln ({(3584 + 8)}^{\frac{9}{5}})$

Schritt 3.2.2

Addiere $3584$ und $8$ .

$f (2) = \ln (3592^{\frac{9}{5}})$

Schritt 3.2.3

Die endgültige Lösung ist $\ln (3592^{\frac{9}{5}})$ .

$\ln (3592^{\frac{9}{5}})$

Schritt 3.3

Konvertiere $\ln (3592^{\frac{9}{5}})$ nach Dezimal.

$y = 14.73563597$

Schritt 4

Bestimme den Punkt bei $x = 3$ .

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f (3) = \ln ({(7 {(3)}^{9} + 4 (3))}^{\frac{9}{5}})$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Potenziere $3$ mit $9$ .

$f (3) = \ln ({(7 \cdot 19683 + 4 (3))}^{\frac{9}{5}})$

Schritt 4.2.1.2

Mutltipliziere $7$ mit $19683$ .

$f (3) = \ln ({(137781 + 4 (3))}^{\frac{9}{5}})$

Schritt 4.2.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$f (3) = \ln ({(137781 + 12)}^{\frac{9}{5}})$

Schritt 4.2.2

Addiere $137781$ und $12$ .

$f (3) = \ln (137793^{\frac{9}{5}})$

Schritt 4.2.3

Die endgültige Lösung ist $\ln (137793^{\frac{9}{5}})$ .

$\ln (137793^{\frac{9}{5}})$

Schritt 4.3

Konvertiere $\ln (137793^{\frac{9}{5}})$ nach Dezimal.

$y = 21.3003141$

Schritt 5

Die logarithmische Funktion kann graphisch dargestellt werden mithilfe der vertikalen Asymptote bei $x = 0$ und den Punkten $(1, 4.31621149), (2, 14.73563597), (3, 21.3003141)$ .

Vertikale Asymptote: $x = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 4.316 \\ 2 & 14.736 \\ 3 & 21.3 \end{array}$

Schritt 6