Analysis Beispiele

$\frac{\ln (x)}{\sqrt{x}}$

Schritt 1

Bestimme den Definitionsbereich von $y = \frac{\ln (x)}{\sqrt{x}}$ , sodass eine Liste von $x$ -Werten ausgewählt werden kann, um eine Liste von Punkten zu erzeugen, die dazu dient, die Wurzelfunktion graphisch darzustellen.

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Schritt 1.1

Setze das Argument in $\ln (x)$ größer als $0$ , um zu ermitteln. wo der Ausdruck definiert ist.

$x > 0$

Schritt 1.2

Setze den Radikanden in $\sqrt{x}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x \geq 0$

Schritt 1.3

Setze den Nenner in $\frac{\ln (x) \sqrt{x}}{x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x = 0$

Schritt 1.4

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x > 0}$

Intervallschreibweise:

$(0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x > 0}$

Schritt 2

Um den Endpunkt des Wurzelausdrucks zu ermitteln, setze den $x$ -Wert $0$ , welcher der kleinste Wert im Definitionsbereich ist, in $f (x) = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{x}$ ein.

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = \frac{\ln (0) \sqrt{0}}{0}$

Schritt 2.2

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

$f (0) = Undefined$

Undefiniert

Schritt 3

Der Endpunkt des Wurzelausdrucks ist $(0, Undefined)$ .

$(0, Undefined)$

Schritt 4

Wähle einige $x$ -Werte aus dem Definitionsbereich. Es wäre nützlicher, die Werte so zu wählen, dass sie nahe beim $x$ -Wert des Endpunktes des Wurzelausdrucks liegen.

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Schritt 4.1

Setze den $x$ -Wert $1$ in $f (x) = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{x}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(1, 0)$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = \frac{\ln (1) \sqrt{1}}{1}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.1.2.1

Dividiere $\ln (1) \sqrt{1}$ durch $1$ .

$f (1) = \ln (1) \sqrt{1}$

Schritt 4.1.2.2

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$f (1) = 0 \sqrt{1}$

Schritt 4.1.2.3

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$f (1) = 0 \cdot 1$

Schritt 4.1.2.4

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$f (1) = 0$

Schritt 4.1.2.5

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$y = 0$

Schritt 4.2

Setze den $x$ -Wert $2$ in $f (x) = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{x}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(2, \frac{\ln (2) \sqrt{2}}{2})$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = \frac{\ln (2) \sqrt{2}}{2}$

Schritt 4.2.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{\ln (2) \sqrt{2}}{2}$ .

$y = \frac{\ln (2) \sqrt{2}}{2}$

Schritt 4.3

Die Quadratwurzelfunktion kann mithilfe der Punkte um den Scheitelpunkt $(0, Undefined), (1, 0), (2, 0.49)$ graphisch dargestellt werden

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & Undefined \\ 1 & 0 \\ 2 & 0.49 \end{array}$

Schritt 5