Analysis Beispiele

$\ln (3 x^{2} - 2 x + 1)$

Schritt 1

Finde die Asymptoten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Setze das Argument des Logarithmus gleich null.

$3 x^{2} - 2 x + 1 = 0$

Schritt 1.2

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 1.2.2

Setze die Werte $a = 3$ , $b = - 2$ und $c = 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 1)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.2.3.1.3

Subtrahiere $12$ von $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 8}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.2.3.1.4

Schreibe $- 8$ als $- 1 (8)$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (8)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.2.3.1.7

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.2.3.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.2.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.2.3.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{6}$

Schritt 1.2.3.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{6}$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{2}}{3}$

Schritt 1.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.2.4.1.3

Subtrahiere $12$ von $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 8}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.2.4.1.4

Schreibe $- 8$ als $- 1 (8)$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.2.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (8)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.2.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.2.4.1.7

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.2.4.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.2.4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.2.4.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{6}$

Schritt 1.2.4.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{6}$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{2}}{3}$

Schritt 1.2.4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{1 + i \sqrt{2}}{3}$

Schritt 1.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.2.5.1.3

Subtrahiere $12$ von $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 8}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.2.5.1.4

Schreibe $- 8$ als $- 1 (8)$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.2.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (8)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.2.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.2.5.1.7

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.2.5.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.2.5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.2.5.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{6}$

Schritt 1.2.5.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{6}$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{2}}{3}$

Schritt 1.2.5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{1 - i \sqrt{2}}{3}$

Schritt 1.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{1 + i \sqrt{2}}{3}, \frac{1 - i \sqrt{2}}{3}$

Schritt 1.3

Die vertikale Asymptote tritt bei $x = \frac{1 + i \sqrt{2}}{3}, x = \frac{1 - i \sqrt{2}}{3}$ auf.

Vertikale Asymptote: $x = \frac{1 + i \sqrt{2}}{3}, x = \frac{1 - i \sqrt{2}}{3}$

Schritt 2

Bestimme den Punkt bei $x = 1$ .

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = \ln (3 {(1)}^{2} - 2 \cdot 1 + 1)$

Schritt 2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = \ln (3 \cdot 1 - 2 \cdot 1 + 1)$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$f (1) = \ln (3 - 2 \cdot 1 + 1)$

Schritt 2.2.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$f (1) = \ln (3 - 2 + 1)$

Schritt 2.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$f (1) = \ln (1 + 1)$

Schritt 2.2.2.2

Addiere $1$ und $1$ .

$f (1) = \ln (2)$

Schritt 2.2.3

Die endgültige Lösung ist $\ln (2)$ .

$\ln (2)$

Schritt 2.3

Konvertiere $\ln (2)$ nach Dezimal.

$y = 0.69314718$

Schritt 3

Bestimme den Punkt bei $x = 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = \ln (3 {(2)}^{2} - 2 \cdot 2 + 1)$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (2) = \ln (3 \cdot 4 - 2 \cdot 2 + 1)$

Schritt 3.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$f (2) = \ln (12 - 2 \cdot 2 + 1)$

Schritt 3.2.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$f (2) = \ln (12 - 4 + 1)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1

Subtrahiere $4$ von $12$ .

$f (2) = \ln (8 + 1)$

Schritt 3.2.2.2

Addiere $8$ und $1$ .

$f (2) = \ln (9)$

Schritt 3.2.3

Die endgültige Lösung ist $\ln (9)$ .

$\ln (9)$

Schritt 3.3

Konvertiere $\ln (9)$ nach Dezimal.

$y = 2.19722457$

Schritt 4

Bestimme den Punkt bei $x = 3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f (3) = \ln (3 {(3)}^{2} - 2 \cdot 3 + 1)$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.1

Multipliziere $3$ mit ${(3)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.1.1

Mutltipliziere $3$ mit ${(3)}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.1.1.1

Potenziere $3$ mit $1$ .

$f (3) = \ln (3 {(3)}^{2} - 2 \cdot 3 + 1)$

Schritt 4.2.1.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (3) = \ln (3^{1 + 2} - 2 \cdot 3 + 1)$

Schritt 4.2.1.1.2

Addiere $1$ und $2$ .

$f (3) = \ln (3^{3} - 2 \cdot 3 + 1)$

Schritt 4.2.1.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$f (3) = \ln (27 - 2 \cdot 3 + 1)$

Schritt 4.2.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$f (3) = \ln (27 - 6 + 1)$

Schritt 4.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1

Subtrahiere $6$ von $27$ .

$f (3) = \ln (21 + 1)$

Schritt 4.2.2.2

Addiere $21$ und $1$ .

$f (3) = \ln (22)$

Schritt 4.2.3

Die endgültige Lösung ist $\ln (22)$ .

$\ln (22)$

Schritt 4.3

Konvertiere $\ln (22)$ nach Dezimal.

$y = 3.09104245$

Schritt 5

Die logarithmische Funktion kann graphisch dargestellt werden mithilfe der vertikalen Asymptote bei $x = \frac{1 + i \sqrt{2}}{3}, x = \frac{1 - i \sqrt{2}}{3}$ und den Punkten $(1, 0.69314718), (2, 2.19722457), (3, 3.09104245)$ .

Vertikale Asymptote: $x = \frac{1 + i \sqrt{2}}{3}, x = \frac{1 - i \sqrt{2}}{3}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 0.693 \\ 2 & 2.197 \\ 3 & 3.091 \end{array}$

Schritt 6