Analysis Beispiele

$4 x^{5} \ln (6 x^{2})$

Schritt 1

Finde die Asymptoten.

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Schritt 1.1

Setze das Argument des Logarithmus gleich null.

$1296 x^{8} = 0$

Schritt 1.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $1296 x^{8} = 0$ durch $1296$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.1.1

Teile jeden Ausdruck in $1296 x^{8} = 0$ durch $1296$ .

$\frac{1296 x^{8}}{1296} = \frac{0}{1296}$

Schritt 1.2.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1296$ .

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Schritt 1.2.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1296 x^{8}}{1296} = \frac{0}{1296}$

Schritt 1.2.1.2.1.2

Dividiere $x^{8}$ durch $1$ .

$x^{8} = \frac{0}{1296}$

Schritt 1.2.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.1.3.1

Dividiere $0$ durch $1296$ .

$x^{8} = 0$

Schritt 1.2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt[8]{0}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt[8]{0}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Schreibe $0$ als $0^{8}$ um.

$x = \pm \sqrt[8]{0^{8}}$

Schritt 1.2.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 1.2.3.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 1.3

Die vertikale Asymptote tritt bei $x = 0$ auf.

Vertikale Asymptote: $x = 0$

Schritt 2

Bestimme den Punkt bei $x = 1$ .

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = 4 {(1)}^{5} \ln (6 {(1)}^{2})$

Schritt 2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = 4 \cdot (1 \ln (6 {(1)}^{2}))$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$f (1) = 4 \ln (6 {(1)}^{2})$

Schritt 2.2.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = 4 \ln (6 \cdot 1)$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$f (1) = 4 \ln (6)$

Schritt 2.2.5

Vereinfache $4 \ln (6)$ , indem du $4$ in den Logarithmus ziehst.

$f (1) = \ln (6^{4})$

Schritt 2.2.6

Potenziere $6$ mit $4$ .

$f (1) = \ln (1296)$

Schritt 2.2.7

Die endgültige Lösung ist $\ln (1296)$ .

$\ln (1296)$

Schritt 2.3

Konvertiere $\ln (1296)$ nach Dezimal.

$y = 7.16703787$

Schritt 3

Bestimme den Punkt bei $x = 2$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = 4 {(2)}^{5} \ln (6 {(2)}^{2})$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Potenziere $2$ mit $5$ .

$f (2) = 4 \cdot (32 \ln (6 {(2)}^{2}))$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $32$ .

$f (2) = 128 \ln (6 {(2)}^{2})$

Schritt 3.2.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (2) = 128 \ln (6 \cdot 4)$

Schritt 3.2.4

Mutltipliziere $6$ mit $4$ .

$f (2) = 128 \ln (24)$

Schritt 3.2.5

Vereinfache $128 \ln (24)$ , indem du $128$ in den Logarithmus ziehst.

$f (2) = \ln (24^{128})$

Schritt 3.2.6

Die endgültige Lösung ist $\ln (24^{128})$ .

$\ln (24^{128})$

Schritt 3.3

Konvertiere $\ln (24^{128})$ nach Dezimal.

$y = 406.79089028$

Schritt 4

Bestimme den Punkt bei $x = 3$ .

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f (3) = 4 {(3)}^{5} \ln (6 {(3)}^{2})$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Potenziere $3$ mit $5$ .

$f (3) = 4 \cdot (243 \ln (6 {(3)}^{2}))$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $243$ .

$f (3) = 972 \ln (6 {(3)}^{2})$

Schritt 4.2.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f (3) = 972 \ln (6 \cdot 9)$

Schritt 4.2.4

Mutltipliziere $6$ mit $9$ .

$f (3) = 972 \ln (54)$

Schritt 4.2.5

Die endgültige Lösung ist $972 \ln (54)$ .

$972 \ln (54)$

Schritt 4.3

Konvertiere $972 \ln (54)$ nach Dezimal.

$y = 3877.29249326$

Schritt 5

Die logarithmische Funktion kann graphisch dargestellt werden mithilfe der vertikalen Asymptote bei $x = 0$ und den Punkten $(1, 7.16703787), (2, 406.79089028), (3, 3877.29249326)$ .

Vertikale Asymptote: $x = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 7.167 \\ 2 & 406.791 \\ 3 & 3877.292 \end{array}$

Schritt 6