Analysis Beispiele

$4 - \ln (x)$

Schritt 1

Finde die Asymptoten.

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Schritt 1.1

Ermittle, wo der Ausdruck $4 - \ln (x)$ nicht definiert ist.

$x \leq 0$

Schritt 1.2

Da $4 - \ln (x)$ $\to$ $\infty$ , wenn $x$ $\to$ $0$ von links und $4 - \ln (x)$ $\to$ $\infty$ , wenn $x$ $\to$ $0$ von rechts, dann ist $x = 0$ eine vertikale Asymptote.

$x = 0$

Schritt 1.3

Den Logarithmus außer Acht lassend, betrachte die rationale Funktion $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , wobei $n$ der Grad des Zählers und $m$ der Grad des Nenners ist.

1. Wenn $n < m$ , dann ist die x-Achse, $y = 0$ , die horizontale Asymptote.

2. Wenn $n = m$ , dann ist die horizontale Asymptote die Gerade $y = \frac{a}{b}$ .

3. Wenn $n > m$ , dann gibt es keine horizontale Asymptote (es gibt eine schiefe Asymptote).

Schritt 1.4

Es gibt keine horizontalen Asymptoten, da $Q (x)$ $1$ ist.

Keine horizontalen Asymptoten

Schritt 1.5

Es sind keine schiefen Asymptoten für logarithmische und trigonometrische Funktionen vorhanden.

Keine schiefen Asymptoten

Schritt 1.6

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Vertikale Asymptoten: $x = 0$

Keine horizontalen Asymptoten

Vertikale Asymptoten: $x = 0$

Keine horizontalen Asymptoten

Schritt 2

Bestimme den Punkt bei $x = 1$ .

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = 4 - \ln (1)$

Schritt 2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$f (1) = 4 - 0$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$f (1) = 4 + 0$

Schritt 2.2.2

Addiere $4$ und $0$ .

$f (1) = 4$

Schritt 2.2.3

Die endgültige Lösung ist $4$ .

$4$

Schritt 2.3

Konvertiere $4$ nach Dezimal.

$y = 4$

Schritt 3

Bestimme den Punkt bei $x = 2$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = 4 - \ln (2)$

Schritt 3.2

Die endgültige Lösung ist $4 - \ln (2)$ .

$4 - \ln (2)$

Schritt 3.3

Konvertiere $4 - \ln (2)$ nach Dezimal.

$y = 3.30685281$

Schritt 4

Bestimme den Punkt bei $x = 3$ .

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f (3) = 4 - \ln (3)$

Schritt 4.2

Die endgültige Lösung ist $4 - \ln (3)$ .

$4 - \ln (3)$

Schritt 4.3

Konvertiere $4 - \ln (3)$ nach Dezimal.

$y = 2.90138771$

Schritt 5

Die logarithmische Funktion kann graphisch dargestellt werden mithilfe der vertikalen Asymptote bei $x = 0$ und den Punkten $(1, 4), (2, 3.30685281), (3, 2.90138771)$ .

Vertikale Asymptote: $x = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 4 \\ 2 & 3.307 \\ 3 & 2.901 \end{array}$

Schritt 6