Analysis Beispiele

$y = x^{3}$ , $(2, 8)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 2$ und $y = 8$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2}$

Schritt 1.2

Bestimme die Ableitung bei $x = 2$ .

$3 {(2)}^{2}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$3 \cdot 4$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$12$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $12$ und einen gegebenen Punkt $(2, 8)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (8) = 12 \cdot (x - (2))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 8 = 12 \cdot (x - 2)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $12 \cdot (x - 2)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y - 8 = 0 + 0 + 12 \cdot (x - 2)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 8 = 12 \cdot (x - 2)$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 8 = 12 x + 12 \cdot - 2$

Schritt 2.3.1.4

Mutltipliziere $12$ mit $- 2$ .

$y - 8 = 12 x - 24$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Addiere $8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 12 x - 24 + 8$

Schritt 2.3.2.2

Addiere $- 24$ und $8$ .

$y = 12 x - 16$

Schritt 3