Analysis Beispiele

$y = 6 x^{2} - x^{3}$ , $(1, 5)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 1$ und $y = 5$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 x^{2} - x^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x^{2}$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$12 x + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$12 x - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$12 x - (3 x^{2})$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$12 x - 3 x^{2}$

Schritt 1.4

Stelle die Terme um.

$- 3 x^{2} + 12 x$

Schritt 1.5

Bestimme die Ableitung bei $x = 1$ .

$- 3 {(1)}^{2} + 12 (1)$

Schritt 1.6

Vereinfache.

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Schritt 1.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.6.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- 3 \cdot 1 + 12 (1)$

Schritt 1.6.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$- 3 + 12 (1)$

Schritt 1.6.1.3

Mutltipliziere $12$ mit $1$ .

$- 3 + 12$

Schritt 1.6.2

Addiere $- 3$ und $12$ .

$9$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $9$ und einen gegebenen Punkt $(1, 5)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (5) = 9 \cdot (x - (1))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 5 = 9 \cdot (x - 1)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $9 \cdot (x - 1)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y - 5 = 0 + 0 + 9 \cdot (x - 1)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 5 = 9 \cdot (x - 1)$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 5 = 9 x + 9 \cdot - 1$

Schritt 2.3.1.4

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$y - 5 = 9 x - 9$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 9 x - 9 + 5$

Schritt 2.3.2.2

Addiere $- 9$ und $5$ .

$y = 9 x - 4$

Schritt 3