Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 0} \tan (3 x)}{\tan (5 x)}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Tangens stetig ist.

$\frac{\tan (lim_{x \to 0} 3 x)}{\tan (5 x)}$

Schritt 1.2

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\tan (3 lim_{x \to 0} x)}{\tan (5 x)}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\tan (3 \cdot 0)}{\tan (5 x)}$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Schreibe $\tan (5 x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\tan (3 \cdot 0)}{\frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}}$

Schritt 3.2

Schreibe $\tan (3 \cdot 0)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\frac{\sin (3 \cdot 0)}{\cos (3 \cdot 0)}}{\frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}}$

Schritt 3.3

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}$ zu dividieren.

$\frac{\sin (3 \cdot 0)}{\cos (3 \cdot 0)} \cdot \frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)}$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Wandle von $\frac{\sin (3 \cdot 0)}{\cos (3 \cdot 0)}$ nach $\tan (3 \cdot 0)$ um.

$\tan (3 \cdot 0) \frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)}$

Schritt 3.4.2

Wandle von $\frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)}$ nach $\cot (5 x)$ um.

$\tan (3 \cdot 0) \cot (5 x)$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$\tan (0) \cot (5 x)$

Schritt 3.6

Der genau Wert von $\tan (0)$ ist $0$ .

$0 \cot (5 x)$

Schritt 3.7

Mutltipliziere $0$ mit $\cot (5 x)$ .

$0$