Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 0} x + x \cos (x)}{\sin (x) \cos (x)}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} x \cos (x)}{\sin (x) \cos (x)}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)}{\sin (x) \cos (x)}$

Schritt 3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)}{\sin (x) \cos (x)}$

Schritt 4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 4.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0 + lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)}{\sin (x) \cos (x)}$

Schritt 4.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0 + 0 \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)}{\sin (x) \cos (x)}$

Schritt 4.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0 + 0 \cdot \cos (0)}{\sin (x) \cos (x)}$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{0 + 0 \cdot 1}{\sin (x) \cos (x)}$

Schritt 5.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$\frac{0 + 0}{\sin (x) \cos (x)}$

Schritt 5.1.3

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{0}{\sin (x) \cos (x)}$

Schritt 5.2

Separiere Brüche.

$\frac{0}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Schritt 5.3

Wandle von $\frac{1}{\sin (x)}$ nach $\csc (x)$ um.

$\frac{0}{\cos (x)} \csc (x)$

Schritt 5.4

Separiere Brüche.

$\frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} \csc (x)$

Schritt 5.5

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$\frac{0}{1} \sec (x) \csc (x)$

Schritt 5.6

Dividiere $0$ durch $1$ .

$0 \sec (x) \csc (x)$

Schritt 5.7

Mutltipliziere $0$ mit $\sec (x)$ .

$0 \csc (x)$

Schritt 5.8

Mutltipliziere $0$ mit $\csc (x)$ .

$0$