Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 0} 6 x^{5} - 8 x^{3}}{9 x^{3} - 6 x^{5}}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} 6 x^{5} - lim_{x \to 0} 8 x^{3}}{9 x^{3} - 6 x^{5}}$

Schritt 2

Ziehe den Term $6$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{6 lim_{x \to 0} x^{5} - lim_{x \to 0} 8 x^{3}}{9 x^{3} - 6 x^{5}}$

Schritt 3

Ziehe den Exponenten $5$ von $x^{5}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{6 {(lim_{x \to 0} x)}^{5} - lim_{x \to 0} 8 x^{3}}{9 x^{3} - 6 x^{5}}$

Schritt 4

Ziehe den Term $8$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{6 {(lim_{x \to 0} x)}^{5} - 8 lim_{x \to 0} x^{3}}{9 x^{3} - 6 x^{5}}$

Schritt 5

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{6 {(lim_{x \to 0} x)}^{5} - 8 {(lim_{x \to 0} x)}^{3}}{9 x^{3} - 6 x^{5}}$

Schritt 6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{6 \cdot 0^{5} - 8 {(lim_{x \to 0} x)}^{3}}{9 x^{3} - 6 x^{5}}$

Schritt 6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{6 \cdot 0^{5} - 8 \cdot 0^{3}}{9 x^{3} - 6 x^{5}}$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{6 \cdot 0 - 8 \cdot 0^{3}}{9 x^{3} - 6 x^{5}}$

Schritt 7.1.2

Mutltipliziere $6$ mit $0$ .

$\frac{0 - 8 \cdot 0^{3}}{9 x^{3} - 6 x^{5}}$

Schritt 7.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0 - 8 \cdot 0}{9 x^{3} - 6 x^{5}}$

Schritt 7.1.4

Mutltipliziere $- 8$ mit $0$ .

$\frac{0 + 0}{9 x^{3} - 6 x^{5}}$

Schritt 7.1.5

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{0}{9 x^{3} - 6 x^{5}}$

Schritt 7.2

Faktorisiere $3 x^{3}$ aus $9 x^{3} - 6 x^{5}$ heraus.

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Schritt 7.2.1

Faktorisiere $3 x^{3}$ aus $9 x^{3}$ heraus.

$\frac{0}{3 x^{3} (3) - 6 x^{5}}$

Schritt 7.2.2

Faktorisiere $3 x^{3}$ aus $- 6 x^{5}$ heraus.

$\frac{0}{3 x^{3} (3) + 3 x^{3} (- 2 x^{2})}$

Schritt 7.2.3

Faktorisiere $3 x^{3}$ aus $3 x^{3} (3) + 3 x^{3} (- 2 x^{2})$ heraus.

$\frac{0}{3 x^{3} (3 - 2 x^{2})}$

Schritt 7.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $3$ .

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Schritt 7.3.1

Faktorisiere $3$ aus $0$ heraus.

$\frac{3 (0)}{3 x^{3} (3 - 2 x^{2})}$

Schritt 7.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{3} (3 - 2 x^{2})$ heraus.

$\frac{3 (0)}{3 (x^{3} (3 - 2 x^{2}))}$

Schritt 7.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 0}{3 (x^{3} (3 - 2 x^{2}))}$

Schritt 7.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{0}{x^{3} (3 - 2 x^{2})}$

Schritt 7.4

Dividiere $0$ durch $x^{3} (3 - 2 x^{2})$ .

$0$