Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} + e^{- x} - 2}{x^{2}}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} + lim_{x \to 0} e^{- x} - lim_{x \to 0} 2}{x^{2}}$

Schritt 2

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} e^{- x} - lim_{x \to 0} 2}{x^{2}}$

Schritt 3

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} + e^{lim_{x \to 0} - x} - lim_{x \to 0} 2}{x^{2}}$

Schritt 4

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} + e^{- lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 2}{x^{2}}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} + e^{- lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 2}{x^{2}}$

Schritt 6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{e^{0} + e^{- lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 2}{x^{2}}$

Schritt 6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{e^{0} + e^{0} - 1 \cdot 2}{x^{2}}$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{1 + e^{0} - 1 \cdot 2}{x^{2}}$

Schritt 7.1.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{1 + 1 - 1 \cdot 2}{x^{2}}$

Schritt 7.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1 + 1 - 2}{x^{2}}$

Schritt 7.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 - 2}{x^{2}}$

Schritt 7.1.5

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$\frac{0}{x^{2}}$

Schritt 7.2

Dividiere $0$ durch $x^{2}$ .

$0$