Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 0} {(1 + x)}^{2} - 1}{x}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} {(1 + x)}^{2} - lim_{x \to 0} 1}{x}$

Schritt 1.2

Ziehe den Exponenten $2$ von ${(1 + x)}^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 0} 1 + x)}^{2} - lim_{x \to 0} 1}{x}$

Schritt 1.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} 1}{x}$

Schritt 1.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{{(1 + lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} 1}{x}$

Schritt 1.5

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{{(1 + lim_{x \to 0} x)}^{2} - 1 \cdot 1}{x}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{{(1 + 0)}^{2} - 1 \cdot 1}{x}$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{1^{2} - 1 \cdot 1}{x}$

Schritt 3.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{x}$

Schritt 3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 - 1}{x}$

Schritt 3.1.4

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{x}$

Schritt 3.2

Dividiere $0$ durch $x$ .

$0$