Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 0} e^{2 x} - e^{- 2 x} - 4 x}{x - \sin (x)}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} e^{2 x} - lim_{x \to 0} e^{- 2 x} - lim_{x \to 0} 4 x}{x - \sin (x)}$

Schritt 2

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} 2 x} - lim_{x \to 0} e^{- 2 x} - lim_{x \to 0} 4 x}{x - \sin (x)}$

Schritt 3

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{e^{2 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} e^{- 2 x} - lim_{x \to 0} 4 x}{x - \sin (x)}$

Schritt 4

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{e^{2 lim_{x \to 0} x} - e^{lim_{x \to 0} - 2 x} - lim_{x \to 0} 4 x}{x - \sin (x)}$

Schritt 5

Ziehe den Term $- 2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{e^{2 lim_{x \to 0} x} - e^{- 2 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 4 x}{x - \sin (x)}$

Schritt 6

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{e^{2 lim_{x \to 0} x} - e^{- 2 lim_{x \to 0} x} - 4 lim_{x \to 0} x}{x - \sin (x)}$

Schritt 7

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 7.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{e^{2 \cdot 0} - e^{- 2 lim_{x \to 0} x} - 4 lim_{x \to 0} x}{x - \sin (x)}$

Schritt 7.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{e^{2 \cdot 0} - e^{- 2 \cdot 0} - 4 lim_{x \to 0} x}{x - \sin (x)}$

Schritt 7.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{e^{2 \cdot 0} - e^{- 2 \cdot 0} - 4 \cdot 0}{x - \sin (x)}$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{e^{0} - e^{- 2 \cdot 0} - 4 \cdot 0}{x - \sin (x)}$

Schritt 8.1.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{1 - e^{- 2 \cdot 0} - 4 \cdot 0}{x - \sin (x)}$

Schritt 8.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$\frac{1 - e^{0} - 4 \cdot 0}{x - \sin (x)}$

Schritt 8.1.4

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1 - 4 \cdot 0}{x - \sin (x)}$

Schritt 8.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 - 1 - 4 \cdot 0}{x - \sin (x)}$

Schritt 8.1.6

Mutltipliziere $- 4$ mit $0$ .

$\frac{1 - 1 + 0}{x - \sin (x)}$

Schritt 8.1.7

Addiere $1 - 1$ und $0$ .

$\frac{1 - 1}{x - \sin (x)}$

Schritt 8.1.8

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{x - \sin (x)}$

Schritt 8.2

Dividiere $0$ durch $x - \sin (x)$ .

$0$