Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} 1 - \sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{π}{2}$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} 1 - lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\frac{π}{2}$ annähert.

$\frac{1 - lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 1.3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{1 - \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{\cos (x)}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{2}$ für $x$ .

$\frac{1 - \sin (\frac{π}{2})}{\cos (x)}$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{\cos (x)}$

Schritt 3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 - 1}{\cos (x)}$

Schritt 3.1.3

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 3.2

Separiere Brüche.

$\frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Schritt 3.3

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$\frac{0}{1} \sec (x)$

Schritt 3.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$0 \sec (x)$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $0$ mit $\sec (x)$ .

$0$