Analysis Beispiele

Bestimme die Tangente an dem Punkt x^(2/3)+y^(2/3)=4 , (-3 Quadratwurzel von 3,1)
,
Schritt 1
Finde die erste Ableitung und werte sie bei und aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.
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Schritt 1.1
Differenziere beide Seiten der Gleichung.
Schritt 1.2
Differenziere die linke Seite der Gleichung.
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Schritt 1.2.1
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 1.2.2
Berechne .
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Schritt 1.2.2.1
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.2.2.2
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 1.2.2.3
Kombiniere und .
Schritt 1.2.2.4
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 1.2.2.5
Vereinfache den Zähler.
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Schritt 1.2.2.5.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.2.2.5.2
Subtrahiere von .
Schritt 1.2.2.6
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 1.2.3
Berechne .
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Schritt 1.2.3.1
Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass ist , mit und .
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Schritt 1.2.3.1.1
Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze durch .
Schritt 1.2.3.1.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.2.3.1.3
Ersetze alle durch .
Schritt 1.2.3.2
Schreibe als um.
Schritt 1.2.3.3
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 1.2.3.4
Kombiniere und .
Schritt 1.2.3.5
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 1.2.3.6
Vereinfache den Zähler.
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Schritt 1.2.3.6.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.2.3.6.2
Subtrahiere von .
Schritt 1.2.3.7
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 1.2.3.8
Kombiniere und .
Schritt 1.2.3.9
Kombiniere und .
Schritt 1.2.3.10
Bringe in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten .
Schritt 1.2.4
Vereinfache.
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Schritt 1.2.4.1
Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten .
Schritt 1.2.4.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.3
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 1.4
Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.
Schritt 1.5
Löse nach auf.
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Schritt 1.5.1
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 1.5.2
Multipliziere beide Seiten mit .
Schritt 1.5.3
Vereinfache.
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Schritt 1.5.3.1
Vereinfache die linke Seite.
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Schritt 1.5.3.1.1
Vereinfache .
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Schritt 1.5.3.1.1.1
Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.
Schritt 1.5.3.1.1.2
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 1.5.3.1.1.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.5.3.1.1.2.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 1.5.3.1.1.3
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 1.5.3.1.1.3.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.5.3.1.1.3.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 1.5.3.2
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 1.5.3.2.1
Vereinfache .
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Schritt 1.5.3.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 1.5.3.2.1.1.1
Bringe das führende Minuszeichen in in den Zähler.
Schritt 1.5.3.2.1.1.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.5.3.2.1.1.3
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.5.3.2.1.1.4
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.5.3.2.1.1.5
Forme den Ausdruck um.
Schritt 1.5.3.2.1.2
Kombiniere und .
Schritt 1.5.3.2.1.3
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 1.5.4
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
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Schritt 1.5.4.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 1.5.4.2
Vereinfache die linke Seite.
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Schritt 1.5.4.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 1.5.4.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.5.4.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 1.5.4.3
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 1.5.4.3.1
Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.
Schritt 1.5.4.3.2
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 1.5.4.3.2.1
Bringe das führende Minuszeichen in in den Zähler.
Schritt 1.5.4.3.2.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.5.4.3.2.3
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.5.4.3.2.4
Forme den Ausdruck um.
Schritt 1.5.4.3.3
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 1.6
Ersetze durch .
Schritt 1.7
Berechne bei und .
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Schritt 1.7.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 1.7.2
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 1.7.3
Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.
Schritt 1.7.4
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 2
Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für lösen.
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Schritt 2.1
Benutze die Steigung und einen gegebenen Punkt , um und in der Punkt-Steigungs-Form zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung abgeleitet ist.
Schritt 2.2
Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.
Schritt 2.3
Löse nach auf.
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Schritt 2.3.1
Vereinfache .
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Schritt 2.3.1.1
Forme um.
Schritt 2.3.1.2
Vereinfache durch Addieren von Nullen.
Schritt 2.3.1.3
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 2.3.1.4
Kombiniere und .
Schritt 2.3.1.5
Multipliziere .
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Schritt 2.3.1.5.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.3.1.5.2
Kombiniere und .
Schritt 2.3.1.5.3
Kombiniere und .
Schritt 2.3.1.6
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 2.3.1.6.1
Bringe in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten .
Schritt 2.3.1.6.2
Bringe in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten .
Schritt 2.3.1.6.3
Multipliziere mit durch Addieren der Exponenten.
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Schritt 2.3.1.6.3.1
Bewege .
Schritt 2.3.1.6.3.2
Mutltipliziere mit .
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Schritt 2.3.1.6.3.2.1
Potenziere mit .
Schritt 2.3.1.6.3.2.2
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 2.3.1.6.3.3
Schreibe als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.
Schritt 2.3.1.6.3.4
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 2.3.1.6.3.5
Addiere und .
Schritt 2.3.1.6.4
Multipliziere mit durch Addieren der Exponenten.
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Schritt 2.3.1.6.4.1
Bewege .
Schritt 2.3.1.6.4.2
Mutltipliziere mit .
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Schritt 2.3.1.6.4.2.1
Potenziere mit .
Schritt 2.3.1.6.4.2.2
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 2.3.1.6.4.3
Schreibe als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.
Schritt 2.3.1.6.4.4
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 2.3.1.6.4.5
Addiere und .
Schritt 2.3.1.6.5
Schreibe als um.
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Schritt 2.3.1.6.5.1
Benutze , um als neu zu schreiben.
Schritt 2.3.1.6.5.2
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 2.3.1.6.5.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.3.1.6.5.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.3.1.6.5.5
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.3.1.6.5.5.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.3.1.6.5.5.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.3.1.6.5.5.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.3.1.6.5.5.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 2.3.1.6.5.5.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 2.3.1.6.5.6
Schreibe als um.
Schritt 2.3.2
Addiere zu beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 2.3.3
Schreibe in -Form.
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Schritt 2.3.3.1
Stelle die Terme um.
Schritt 2.3.3.2
Entferne die Klammern.
Schritt 3