Analysis Beispiele

$x^{3} + y^{3} - 9 x y = 0$ , $(2, 4)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 2$ und $y = 4$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x^{3} + y^{3} - 9 x y) = \frac{d}{d x} (0)$

Schritt 1.2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Differenziere.

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Schritt 1.2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} + y^{3} - 9 x y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x y]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x y]$

Schritt 1.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x y]$

Schritt 1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

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Schritt 1.2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 1.2.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 9 x y]$

Schritt 1.2.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 9 x y]$

Schritt 1.2.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 9 x y]$

Schritt 1.2.2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [- 9 x y]$

Schritt 1.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 9 x y]$ .

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Schritt 1.2.3.1

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9 x y$ nach $x$ gleich $- 9 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 9 \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 9 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.2.3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 9 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 9 (x y' + y \cdot 1)$

Schritt 1.2.3.5

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 9 (x y' + y)$

Schritt 1.2.4

Vereinfache.

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Schritt 1.2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 9 (x y') - 9 y$

Schritt 1.2.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 9 x y' - 9 y$

Schritt 1.3

Da $0$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $0$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 1.4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 9 x y' - 9 y = 0$

Schritt 1.5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 1.5.1

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.5.1.1

Subtrahiere $3 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 y^{2} y' - 9 x y' - 9 y = - 3 x^{2}$

Schritt 1.5.1.2

Addiere $9 y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 y^{2} y' - 9 x y' = - 3 x^{2} + 9 y$

Schritt 1.5.2

Faktorisiere $3 y'$ aus $3 y^{2} y' - 9 x y'$ heraus.

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Schritt 1.5.2.1

Faktorisiere $3 y'$ aus $3 y^{2} y'$ heraus.

$3 y' y^{2} - 9 x y' = - 3 x^{2} + 9 y$

Schritt 1.5.2.2

Faktorisiere $3 y'$ aus $- 9 x y'$ heraus.

$3 y' y^{2} + 3 y' (- 3 x) = - 3 x^{2} + 9 y$

Schritt 1.5.2.3

Faktorisiere $3 y'$ aus $3 y' y^{2} + 3 y' (- 3 x)$ heraus.

$3 y' (y^{2} - 3 x) = - 3 x^{2} + 9 y$

Schritt 1.5.3

Teile jeden Ausdruck in $3 y' (y^{2} - 3 x) = - 3 x^{2} + 9 y$ durch $3 (y^{2} - 3 x)$ und vereinfache.

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Schritt 1.5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 y' (y^{2} - 3 x) = - 3 x^{2} + 9 y$ durch $3 (y^{2} - 3 x)$ .

$\frac{3 y' (y^{2} - 3 x)}{3 (y^{2} - 3 x)} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 3 x)} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

Schritt 1.5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y' (y^{2} - 3 x)}{3 (y^{2} - 3 x)} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 3 x)} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

Schritt 1.5.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (y^{2} - 3 x)}{y^{2} - 3 x} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 3 x)} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

Schritt 1.5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2} - 3 x$ .

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Schritt 1.5.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (y^{2} - 3 x)}{y^{2} - 3 x} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 3 x)} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

Schritt 1.5.3.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 3 x)} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

Schritt 1.5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 3$ und $3$ .

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Schritt 1.5.3.3.1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$y' = \frac{3 (- x^{2})}{3 (y^{2} - 3 x)} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

Schritt 1.5.3.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.3.3.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{3 (- x^{2})}{3 (y^{2} - 3 x)} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

Schritt 1.5.3.3.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{- x^{2}}{y^{2} - 3 x} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

Schritt 1.5.3.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{x^{2}}{y^{2} - 3 x} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

Schritt 1.5.3.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $9$ und $3$ .

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Schritt 1.5.3.3.1.3.1

Faktorisiere $3$ aus $9 y$ heraus.

$y' = - \frac{x^{2}}{y^{2} - 3 x} + \frac{3 (3 y)}{3 (y^{2} - 3 x)}$

Schritt 1.5.3.3.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.3.3.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = - \frac{x^{2}}{y^{2} - 3 x} + \frac{3 (3 y)}{3 (y^{2} - 3 x)}$

Schritt 1.5.3.3.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = - \frac{x^{2}}{y^{2} - 3 x} + \frac{3 y}{y^{2} - 3 x}$

Schritt 1.5.3.3.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.5.3.3.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{- x^{2} + 3 y}{y^{2} - 3 x}$

Schritt 1.5.3.3.2.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2}$ heraus.

$y' = \frac{- (x^{2}) + 3 y}{y^{2} - 3 x}$

Schritt 1.5.3.3.2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $3 y$ heraus.

$y' = \frac{- (x^{2}) - (- 3 y)}{y^{2} - 3 x}$

Schritt 1.5.3.3.2.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2}) - (- 3 y)$ heraus.

$y' = \frac{- (x^{2} - 3 y)}{y^{2} - 3 x}$

Schritt 1.5.3.3.2.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.5.3.3.2.5.1

Schreibe $- (x^{2} - 3 y)$ als $- 1 (x^{2} - 3 y)$ um.

$y' = \frac{- 1 (x^{2} - 3 y)}{y^{2} - 3 x}$

Schritt 1.5.3.3.2.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{x^{2} - 3 y}{y^{2} - 3 x}$

Schritt 1.6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2} - 3 y}{y^{2} - 3 x}$

Schritt 1.7

Berechne bei $x = 2$ und $y = 4$ .

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Schritt 1.7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$- \frac{{(2)}^{2} - 3 y}{y^{2} - 3 \cdot 2}$

Schritt 1.7.2

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $y$ durch $4$ .

$- \frac{{(2)}^{2} - 3 \cdot 4}{{(4)}^{2} - 3 \cdot 2}$

Schritt 1.7.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.7.3.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{4 - 3 \cdot 4}{4^{2} - 3 \cdot 2}$

Schritt 1.7.3.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $4$ .

$- \frac{4 - 12}{4^{2} - 3 \cdot 2}$

Schritt 1.7.3.3

Subtrahiere $12$ von $4$ .

$- \frac{- 8}{4^{2} - 3 \cdot 2}$

Schritt 1.7.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.7.4.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$- \frac{- 8}{16 - 3 \cdot 2}$

Schritt 1.7.4.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$- \frac{- 8}{16 - 6}$

Schritt 1.7.4.3

Subtrahiere $6$ von $16$ .

$- \frac{- 8}{10}$

Schritt 1.7.5

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.7.5.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 8$ und $10$ .

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Schritt 1.7.5.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 8$ heraus.

$- \frac{2 (- 4)}{10}$

Schritt 1.7.5.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.7.5.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$- \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 5}$

Schritt 1.7.5.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 5}$

Schritt 1.7.5.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{- 4}{5}$

Schritt 1.7.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- - \frac{4}{5}$

Schritt 1.7.6

Multipliziere $- - \frac{4}{5}$ .

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Schritt 1.7.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 (\frac{4}{5})$

Schritt 1.7.6.2

Mutltipliziere $\frac{4}{5}$ mit $1$ .

$\frac{4}{5}$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $\frac{4}{5}$ und einen gegebenen Punkt $(2, 4)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (4) = \frac{4}{5} \cdot (x - (2))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 4 = \frac{4}{5} \cdot (x - 2)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $\frac{4}{5} \cdot (x - 2)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y - 4 = 0 + 0 + \frac{4}{5} \cdot (x - 2)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 4 = \frac{4}{5} \cdot (x - 2)$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 4 = \frac{4}{5} x + \frac{4}{5} \cdot - 2$

Schritt 2.3.1.4

Kombiniere $\frac{4}{5}$ und $x$ .

$y - 4 = \frac{4 x}{5} + \frac{4}{5} \cdot - 2$

Schritt 2.3.1.5

Multipliziere $\frac{4}{5} \cdot - 2$ .

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Schritt 2.3.1.5.1

Kombiniere $\frac{4}{5}$ und $- 2$ .

$y - 4 = \frac{4 x}{5} + \frac{4 \cdot - 2}{5}$

Schritt 2.3.1.5.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$y - 4 = \frac{4 x}{5} + \frac{- 8}{5}$

Schritt 2.3.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y - 4 = \frac{4 x}{5} - \frac{8}{5}$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = \frac{4 x}{5} - \frac{8}{5} + 4$

Schritt 2.3.2.2

Um $4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{4 x}{5} - \frac{8}{5} + 4 \cdot \frac{5}{5}$

Schritt 2.3.2.3

Kombiniere $4$ und $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{4 x}{5} - \frac{8}{5} + \frac{4 \cdot 5}{5}$

Schritt 2.3.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{4 x}{5} + \frac{- 8 + 4 \cdot 5}{5}$

Schritt 2.3.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.2.5.1

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$y = \frac{4 x}{5} + \frac{- 8 + 20}{5}$

Schritt 2.3.2.5.2

Addiere $- 8$ und $20$ .

$y = \frac{4 x}{5} + \frac{12}{5}$

Schritt 2.3.3

Stelle die Terme um.

$y = \frac{4}{5} x + \frac{12}{5}$

Schritt 3