Analysis Beispiele

$(x^{2} + 4) y = 8$ , $(2, 1)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 2$ und $y = 1$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} ((x^{2} + 4) y) = \frac{d}{d x} (8)$

Schritt 1.2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2} + 4$ und $g (x) = y$ .

$(x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Schritt 1.2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$(x^{2} + 4) y' + y \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Schritt 1.2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$(x^{2} + 4) y' + y (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4])$

Schritt 1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$(x^{2} + 4) y' + y (2 x + \frac{d}{d x} [4])$

Schritt 1.2.5

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(x^{2} + 4) y' + y (2 x + 0)$

Schritt 1.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.6.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$(x^{2} + 4) y' + y (2 x)$

Schritt 1.2.6.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y$ .

$(x^{2} + 4) y' + 2 \cdot y x$

Schritt 1.2.7

Vereinfache.

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Schritt 1.2.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} y' + 4 y' + 2 y x$

Schritt 1.2.7.2

Stelle die Terme um.

$x^{2} y' + 2 x y + 4 y'$

Schritt 1.3

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 1.4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$x^{2} y' + 2 x y + 4 y' = 0$

Schritt 1.5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 1.5.1

Subtrahiere $2 x y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} y' + 4 y' = - 2 x y$

Schritt 1.5.2

Faktorisiere $y'$ aus $x^{2} y' + 4 y'$ heraus.

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Schritt 1.5.2.1

Faktorisiere $y'$ aus $x^{2} y'$ heraus.

$y' x^{2} + 4 y' = - 2 x y$

Schritt 1.5.2.2

Faktorisiere $y'$ aus $4 y'$ heraus.

$y' x^{2} + y' \cdot 4 = - 2 x y$

Schritt 1.5.2.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' x^{2} + y' \cdot 4$ heraus.

$y' (x^{2} + 4) = - 2 x y$

Schritt 1.5.3

Teile jeden Ausdruck in $y' (x^{2} + 4) = - 2 x y$ durch $x^{2} + 4$ und vereinfache.

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Schritt 1.5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (x^{2} + 4) = - 2 x y$ durch $x^{2} + 4$ .

$\frac{y' (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4} = \frac{- 2 x y}{x^{2} + 4}$

Schritt 1.5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} + 4$ .

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Schritt 1.5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4} = \frac{- 2 x y}{x^{2} + 4}$

Schritt 1.5.3.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 2 x y}{x^{2} + 4}$

Schritt 1.5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{2 x y}{x^{2} + 4}$

Schritt 1.6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y}{x^{2} + 4}$

Schritt 1.7

Berechne bei $x = 2$ und $y = 1$ .

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Schritt 1.7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$- 2 \cdot 2 \cdot \frac{y}{{(2)}^{2} + 4}$

Schritt 1.7.2

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $y$ durch $1$ .

$- 2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{{(2)}^{2} + 4}$

Schritt 1.7.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.7.3.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$- 2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{4 + 4}$

Schritt 1.7.3.2

Addiere $4$ und $4$ .

$- 2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{8}$

Schritt 1.7.4

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.7.4.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$- 4 \cdot \frac{1}{8}$

Schritt 1.7.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.7.4.2.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$4 (- 1) \cdot \frac{1}{8}$

Schritt 1.7.4.2.2

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$4 \cdot - 1 \cdot \frac{1}{4 \cdot 2}$

Schritt 1.7.4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \cdot - 1 \cdot \frac{1}{4 \cdot 2}$

Schritt 1.7.4.2.4

Forme den Ausdruck um.

$- 1 \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 1.7.4.3

Schreibe $- 1 (\frac{1}{2})$ als $- (\frac{1}{2})$ um.

$- \frac{1}{2}$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $- \frac{1}{2}$ und einen gegebenen Punkt $(2, 1)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (1) = - \frac{1}{2} \cdot (x - (2))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 1 = - \frac{1}{2} \cdot (x - 2)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $- \frac{1}{2} \cdot (x - 2)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{1}{2} \cdot (x - 2)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 1 = - \frac{1}{2} \cdot (x - 2)$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 1 = - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot - 2$

Schritt 2.3.1.4

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{2}$ .

$y - 1 = - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \cdot - 2$

Schritt 2.3.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.1.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2}$ in den Zähler.

$y - 1 = - \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2} \cdot - 2$

Schritt 2.3.1.5.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$y - 1 = - \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2} \cdot (2 (- 1))$

Schritt 2.3.1.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y - 1 = - \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)$

Schritt 2.3.1.5.4

Forme den Ausdruck um.

$y - 1 = - \frac{x}{2} - 1 \cdot - 1$

Schritt 2.3.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y - 1 = - \frac{x}{2} + 1$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = - \frac{x}{2} + 1 + 1$

Schritt 2.3.2.2

Addiere $1$ und $1$ .

$y = - \frac{x}{2} + 2$

Schritt 2.3.3

Schreibe in $y = m x + b$ -Form.

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Schritt 2.3.3.1

Stelle die Terme um.

$y = - (\frac{1}{2} x) + 2$

Schritt 2.3.3.2

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{1}{2} x + 2$

Schritt 3